Un défi par semaine

Mars 2015, 2e défi

Le 13 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

Jean possède un grand nombre de cubes blancs identiques. Il trace une diagonale sur chacune des faces des cubes. Combien peut-il obtenir au maximum de cubes différents ? (Deux cubes sont identiques s’ils diffèrent d’une rotation.)

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $1860$.

Observons que les carrés des nombres impairs se situent toujours sur le bord inférieur de la grille, alors que les carrés des nombres pairs se trouvent sur le côté gauche de la grille. Ceci est une conséquence du fait que chaque fois que la trajectoire foncée arrive dans le bord inférieur de la grille, elle a parcouru tous les sommets d’une grille carrée avec un nombre impair de sommets dans chacun de ses bords.

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Les carrés encadrant $2015$ sont les nombres $1936=44^2$ et $2025 = 45^2$. Tous les carrés des nombres impairs se trouvent à l’extrémité d’un segment descendant. De plus 2015 est plus proche de $45^2$ que de $44^2$. Ainsi, 2015 se trouve sur le segment descendant qui se termine par 2025.

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Le carré impair précédant $45^2$ est $43^2=1849$ ; le numéro suivant se trouvant à sa droite est donc 1850. Ainsi le point recherché se trouve à la verticale de $1850$ et à même distance de $1850$ que $2015$ de $2025$. Finalement, le numéro recherché est $1850+(2025-2015) = 1850+10=1860$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2015, 2ème défi

    le 16 mars 2015 à 23:31, par Idéophage

    Du coup, je ne suis pas certain, mais je crois que l’on arrive à la classification suivante. Ce n’est pas très intéressant si on ne pousse pas plus loin, ça a l’air un peu aléatoire, mais bref.

    On considère le tétraèdre qui contient le plus de diagonales.

    * Soit on sélectionne zéro face dans notre tétraèdre. On a une seule possibilité de faire ça.

    * Soit on sélectionne une diagonale. On a encore une possibilité (tout couple de possibilités sont les mêmes : il suffit d’envoyer les deux arêtes l’une sur l’autre).

    * Soit on sélectionne deux diagonales. On a deux possibilités : soit les diagonales se touchent, soit elles ne se touchent pas.

    * Soit on en sélectionne trois. Dans ce cas, il faudra faire attention aux deux tétraèdres : il se peut que l’on compte une figure une fois en « positif » et une fois en « négatif ». Si on sélectionne trois arêtes en triangle, alors le négatif donne également trois arêtes en triangle (puisque les trois arêtes non sélectionnées forment un triangle dans l’autre tétraèdre). Symétriquement, si on sélectionne trois arêtes ayant un sommet en commun, les trois laissées sont aussi celles ayant un sommet en commun dans l’autre tétraèdre. Ensuite, on peut faire un zigzag. On a deux possibilités de zigzags. Quand on regarde avec la branche centrale en bas de la construction, soit la « branche » gauche du zigzag passe au dessus, soit elle passe au dessous. En effet, quand on inverse la droite et la gauche sans inverser le haut et le bas (on fixe la branche centrale en bas), on inverse aussi le devant et le derrière (le nombre de « directions » inversées par une similitude directe est toujours paire : il y a deux sens pour un repère). Donc il y a bien deux zigzags différents. On voit aussi que le passage au complémentaire (l’autre tétraèdre) conserve le sens du zigzag, donc il y a bien deux zigzags différents également modulo une inversion des tétraèdres. Au final, ça fait quatre possibilités.

    * Si on en sélectionne plus, c’est que ce n’est pas le tétraèdre contenant le plus de diagonales.

    Bon, on peut probablement éclaircir tout ça.

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