Mars 2015, 2e défi

Le 13 mars 2015 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

Jean possède un grand nombre de cubes blancs identiques. Il trace une diagonale sur chacune des faces des cubes. Combien peut-il obtenir au maximum de cubes différents ? (Deux cubes sont identiques s’ils diffèrent d’une rotation.)

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $1860$.

Observons que les carrés des nombres impairs se situent toujours sur le bord inférieur de la grille, alors que les carrés des nombres pairs se trouvent sur le côté gauche de la grille. Ceci est une conséquence du fait que chaque fois que la trajectoire foncée arrive dans le bord inférieur de la grille, elle a parcouru tous les sommets d’une grille carrée avec un nombre impair de sommets dans chacun de ses bords.

Les carrés encadrant $2015$ sont les nombres $1936=44^2$ et $2025 = 45^2$. Tous les carrés des nombres impairs se trouvent à l’extrémité d’un segment descendant. De plus 2015 est plus proche de $45^2$ que de $44^2$. Ainsi, 2015 se trouve sur le segment descendant qui se termine par 2025.

Le carré impair précédant $45^2$ est $43^2=1849$ ; le numéro suivant se trouvant à sa droite est donc 1850. Ainsi le point recherché se trouve à la verticale de $1850$ et à même distance de $1850$ que $2015$ de $2025$. Finalement, le numéro recherché est $1850+(2025-2015) = 1850+10=1860$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Mars 2015, 2ème défi

le 19 mars 2015 à 12:03, par Daniate

Bonjour, j’arrive bien tard, privé d’internet que j’étais ces derniers temps. Je remercie Idéophage de me faire découvrir un lemme dont j’essaierai plus tard de saisir les subtilités. La méthode que j’ai utilisé est celle des 2 tétraèdres parfaitement développée en deuxième intention par Idéophage, à ceci près que pour distinguer les 2 tétraèdres l’un est rouge (le plus abondant) l’autre est vert. Je vois à cette méthode plusieurs intérêts : elle est accessible sans grandes connaissances mathématiques et elle conduit à une visualisation des solutions. De plus quelle que soit la méthode utilisée on en revient toujours à un dénombrement alors pourquoi ne pas commencer par lui.

Je me suis amusé à représenter les huit cubes largement déformés pour pouvoir visualiser les 8 sommets. La figure est consultable sur mon drive ( merci Bastien_B pour l’idée) :https://drive.google.com/folderview...
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