Un défi par semaine

Mars 2016, 1er défi

Le 4 mars 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

On lance $5$ fléchettes sur une cible ronde de rayon $25\sqrt{2}$ cm. Si les $5$ fléchettes atteignent la cible, est-il vrai qu’au moins deux d’entre elles se trouvent à une distance inférieure à $50$ cm l’une de l’autre ?

Solution du 4e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $22$ nombres.

Un nombre à $6$ chiffres qui se termine par $164$ peut s’écrire sous la forme $10^3 n+164$, où $n$ est un nombre à trois chiffres. Puisque le nombre est également un multiple de $164$, on a $10^3n+164=164k$, soit $10^3n=164(k-1)$. La décomposition en facteurs premiers de $164$ est $2^2\times 41$, et $10^3$ est divisible par $2^2$. Par conséquent, le nombre $n$ à trois chiffres doit être un multiple de $41$, c’est-à-dire $n=41t$, où $3\leq t \leq 24$. Ainsi, il existe $24-3+1=22$ nombres à 6 chiffres, multiples de $164$ et se terminant par $164$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2016, 1er défi

    le 6 mars 2016 à 14:11, par Laurent

    J’ai raisonné ainsi.
    Prenons 3 points et k le diamètre du problème.
    Si on souhaite placer les 3 points à la distance minimale 50cm, on obtient un triangle équilatéral.
    Avec 4 points ( quadrilatère) on a 6 distances dont deux sont les diagonales. Au mieux on peut avoir 5 de ces distances égales : 2 triangles équilatéraux donnent un losange.
    Mais la diagonale la plus longue est supérieure au diamètre k du disque du problème.
    Donc au mieux on peut disposer avec 4 points ,un carré ( sa diagonale est égale à k) de sorte que sur les 6 longueurs 4 soient minimales et égales à 50cm, les deux autres sont supérieures et égales à k.
    Donc il est impossible de placer un 5ème point en respectant cette contrainte de distance minimale égale à 50.

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