Un défi par semaine

Mars 2016, 1er défi

Le 4 mars 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

On lance $5$ fléchettes sur une cible ronde de rayon $25\sqrt{2}$ cm. Si les $5$ fléchettes atteignent la cible, est-il vrai qu’au moins deux d’entre elles se trouvent à une distance inférieure à $50$ cm l’une de l’autre ?

Solution du 4e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $22$ nombres.

Un nombre à $6$ chiffres qui se termine par $164$ peut s’écrire sous la forme $10^3 n+164$, où $n$ est un nombre à trois chiffres. Puisque le nombre est également un multiple de $164$, on a $10^3n+164=164k$, soit $10^3n=164(k-1)$. La décomposition en facteurs premiers de $164$ est $2^2\times 41$, et $10^3$ est divisible par $2^2$. Par conséquent, le nombre $n$ à trois chiffres doit être un multiple de $41$, c’est-à-dire $n=41t$, où $3\leq t \leq 24$. Ainsi, il existe $24-3+1=22$ nombres à 6 chiffres, multiples de $164$ et se terminant par $164$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Mars 2016, 1er défi

    le 7 mars 2016 à 00:40, par Al_louarn

    Si l’une des fléchettes atteint le centre alors l’assertion est vraie car les autres sont au plus à $25\sqrt{2}$ cm du centre.

    Sinon il est possible de tracer $2$ diamètres perpendiculaires ne passant par aucune fléchette. De cette façon on découpe le disque en $4$ quartiers, et chaque fléchette atteint un et un seul quartier.
    Comme il y a $5$ fléchettes pour $4$ quartiers, l’un d’entre (au moins) est atteint par (au moins) $2$ fléchettes (principe des tiroirs).
    Observons maintenant que notre quartier s’inscrit dans un carré de côté $25\sqrt{2}$, dont $1$ sommet est le centre de la cible, $2$ autres sommets sont à l’intersection des diamètres avec le cercle, et le dernier sommet est à l’extérieur de la cible.
    Nos $2$ fléchettes sont donc à l’intérieur de ce carré, mais aucune ne se trouve sur un sommet du carré puisque par hypothèse elles sont présentes sur la cible et exclues des diamètres.
    Et par conséquent, elles sont aussi à l’intérieur du cercle circonscrit au carré, mais par sur ce cercle. Leur distance mutuelle est donc strictement inférieure au diamètre de ce cercle, qui mesure $25\sqrt{2}*\sqrt{2}=50$ (diagonale du carré).

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