Un défi par semaine

Mars 2016, 2e défi

El 11 marzo 2016  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

Dans une ferme, Jean dit à Pierre : « Tu dois tondre $30$ moutons en quinze jours, en en tondant chaque jour un nombre impair. » Pierre peut-il y arriver?

(Remarque: $0$ n’est pas un nombre impair.)

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est oui.

Divisons la cible en $4$ à l’aide de deux diamètres perpendiculaires. Puisqu’on lance $5$ fléchettes, un des quarts de cercle contient forcément au moins $2$ fléchettes. En utilisant le théorème de Pythagore dans ce quart de cercle, on a

$AB^2 = OA^2 + OB^2$

$ = 25^2\times 2 + 25^2\times 2=25^2\times 2^2.$

Ainsi, $AB= 25\times 2=50$ cm.

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Traçons le cercle qui passe par $O$, $A$ et $B$. Puisque $\widehat{AOB}=90^\circ$, le centre du cercle est le milieu de $[AB]$. Le segment $[AB]$ est donc un diamètre du cercle, et la distance entre deux fléchettes quelconques dans ce quart de la cible vaut au maximum $AB=50$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mars 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Mars 2016, 2e défi

    le 11 de marzo de 2016 à 07:27, par Al_louarn

    C’est impossible car $15$ et $30$ n’ont pas la même parité. En effet la somme de $n$ nombres impairs a toujours la même parité que $n$. Il suffit de grouper les nombres par deux. Chaque paire a une somme paire, donc la somme des paires est encore un nombre pair $p$.
    Si $n$ est pair, alors $n=p$ donc $n$ est pair.
    Si $n$ est impair, alors il reste un nombre impair isolé $i$, et $n=p+i$, donc $n$ est impair.

    Répondre à ce message

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