Mars 2017, 3e défi

Le 17 mars 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

Déterminer la somme de tous les nombres entiers positifs $x$ vérifiant la propriété suivante : $x$ et $x+99$ sont les carrés de nombres entiers positifs.

Solution du 2e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est 1.

Soient $x_1$, $x_2$, $\ldots,$ $x_{10}$ les nombres auxquels ont pensé les personnes qui ont dit $1$, $2$, $\ldots,$ $10$, dans cet ordre, c’est-à-dire que $x_1$ est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $1$, $x_2$ le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $2$, et ainsi de suite.

On peut écrire les équations :

\[ x_1+x_3=4,\]

\[x_2+x_4=6,\]

\[x_3+x_5=8,\]

\[x_4+x_6= 10,\]

\[x_5+x_7=12,\]

\[x_6+x_8=14,\]

\[x_7+x_9=16,\]

\[x_8+x_{10}=18,\]

\[x_9+x_1=20,\]

\[x_{10}+x_2=2.\]

Si on somme les équations avec des indices paires, on obtient :

\[2(x_2 +x_4 + x_6 +x_8+x_{10} ) = 50\]

\[ 6 +x_6 +18 = 25\]

\[x_6+24 = 25.\]

On obtient donc $x_6=1$. De manière analogue, on peut obtenir tous les autres nombres. La personne qui a dit $6$ pensait au nombre $1$.

Post-scriptum :

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Mars 2017, 3e défi

le 13 mars 2017 à 23:18, par Florian

Bonsoir,

$x = a^2$ et $x + 99 = b^2$, d’où $99 = b^2 - a^2 = (a-b)(a+b)$. Connaissant les diviseurs de $99$, on a donc trois possibilités :

Soit $a-b = 1$ et $a+b = 99$, d’où $a=49$ et $b=50$. Dans ce cas, $x = 49^2 = 2401$. On a bien $x+99 = 2500 = b^2$

Soit $a-b = 3$ et $a+b = 33$, d’où $a=15$ et $b=18$. Dans ce cas, $x = 15^2 = 225$. On a bien $x+99 = 324 = b^2$

Soit $a-b = 9$ et $a+b = 11$, d’où $a=1$ et $b=10$. Dans ce cas, $x = 1^2 = 1$. On a bien $x + 99 = 100 = b^2$
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Mars 2017, 3e défi

le 17 mars 2017 à 08:39, par ROUX

Mais comment Florian peut-il donner le 13 mars à 23h18min la réponse au 3ème défi publié le vendredi 17 mars ?
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Mars 2017, 3e défi

le 17 mars 2017 à 08:47, par Florian

Je résous les problème plus vite que la vitesse de la lumière, ce qui a pour effet de faire remonter le temps quand je publie ma réponse...

Plus sérieusement, l’article est simplement apparu le 13 mars dans mon lecteur de flux RSS.

D’ailleurs, j’ai oublié de faire la somme des entiers vérifiant la propriété, la réponse finale est donc $2401 + 225 + 1 = 2627$.
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