Un défi par semaine

Mars 2017, 4e défi

Le 24 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 12 :

Dans le patron de l’octaèdre, placer dans les triangles chacun des nombres de $1$ à $8$ de sorte que la somme des nombres de $4$ triangles partageant un sommet soit toujours la même.

PNG - 28 ko

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $2627$.

Comme $x$ et $x+99$ sont les carrés de nombres entiers positifs, on a :

$x = n^2$

$x + 99 = m^2.$

En soustrayant ces deux équations, on obtient $-99=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$ ce qui est équivalent à $99 = (m-n)(n+m)$. Comme $m>n>0$ on a $m+n>m-n>0$. D’autre part, la décomposition en facteurs premiers de $99$ est $3^2\times 11$. On a donc trois cas :

  • $n+m=99$ et $m-n=1$. Alors, en sommant ces deux équations, on obtient $2m=100$ et donc $m=50$. Il vient alors $n=49$ et $x=49^2= 2401$.
  • $n+m=33$ et $m-n=3$. Alors, de la même manière, on obtient $m=18$. Donc $n=15$ et $x=15^2= 225$.
  • $n+m=11$ et $m-n=9$. Alors, de la même manière, on obtient $m=10$. Donc $n=1$ et $x=1^2= 1$.

Finalement, la somme de tous les $x$ est $2401+225+1=2627$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2017, 4e défi

    le 24 mars 2017 à 19:15, par ROUX

    Ah non, pas du tout, point de verbe au passé : je n’avais, je n’ai pas et je ne devinerai jamais rien de cette sorte  ;-) !!!

    Répondre à ce message

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