Mars 2017, 4e défi

Le 24 mars 2017 - Ecrit par Rechtman, Ana Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 12 :

Dans le patron de l’octaèdre, placer dans les triangles chacun des nombres de $1$ à $8$ de sorte que la somme des nombres de $4$ triangles partageant un sommet soit toujours la même.

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $2627$.

Comme $x$ et $x+99$ sont les carrés de nombres entiers positifs, on a :

$x = n^2$

$x + 99 = m^2.$

En soustrayant ces deux équations, on obtient $-99=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$ ce qui est équivalent à $99 = (m-n)(n+m)$. Comme $m>n>0$ on a $m+n>m-n>0$. D’autre part, la décomposition en facteurs premiers de $99$ est $3^2\times 11$. On a donc trois cas :

$n+m=99$ et $m-n=1$. Alors, en sommant ces deux équations, on obtient $2m=100$ et donc $m=50$. Il vient alors $n=49$ et $x=49^2= 2401$.
$n+m=33$ et $m-n=3$. Alors, de la même manière, on obtient $m=18$. Donc $n=15$ et $x=15^2= 225$.
$n+m=11$ et $m-n=9$. Alors, de la même manière, on obtient $m=10$. Donc $n=1$ et $x=1^2= 1$.

Finalement, la somme de tous les $x$ est $2401+225+1=2627$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

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Mars 2017, 4e défi

le 24 mars 2017 à 19:52, par Niak

Effectivement patron ne désigne rien de très précis mathématiquement parlant ;-) . Et un petit dessin accompagnant le défi n’aurait pas fait de mal.
Cette image (lien) tirée d’un des liens que je donnais dans mon message précédent (mais en 2017 les liens hypertexte n’apparaissent plus explicitement, c’est tellement surfait ;-D ) propose un tel patron (attention, il faut considérer l’extérieur comme une face).
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