Un défi par semaine

Mars 2017, 4e défi

Le 24 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 12 :

Dans le patron de l’octaèdre, placer dans les triangles chacun des nombres de $1$ à $8$ de sorte que la somme des nombres de $4$ triangles partageant un sommet soit toujours la même.

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Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $2627$.

Comme $x$ et $x+99$ sont les carrés de nombres entiers positifs, on a :

$x = n^2$

$x + 99 = m^2.$

En soustrayant ces deux équations, on obtient $-99=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$ ce qui est équivalent à $99 = (m-n)(n+m)$. Comme $m>n>0$ on a $m+n>m-n>0$. D’autre part, la décomposition en facteurs premiers de $99$ est $3^2\times 11$. On a donc trois cas :

  • $n+m=99$ et $m-n=1$. Alors, en sommant ces deux équations, on obtient $2m=100$ et donc $m=50$. Il vient alors $n=49$ et $x=49^2= 2401$.
  • $n+m=33$ et $m-n=3$. Alors, de la même manière, on obtient $m=18$. Donc $n=15$ et $x=15^2= 225$.
  • $n+m=11$ et $m-n=9$. Alors, de la même manière, on obtient $m=10$. Donc $n=1$ et $x=1^2= 1$.

Finalement, la somme de tous les $x$ est $2401+225+1=2627$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

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  • Mars 2017, 4e défi

    le 25 mars 2017 à 11:11, par orion8

    Extrait du petit ouvrage Problèmes et divertissements mathématiques Tome 2 (M. Gardner, Dunod 1965) :

    Demandez à quelqu’un de choisir un nombre compris entre 0 et 7 inclus. Montrez-lui l’octaèdre de façon à ce qu’il ne voie que les faces 1, 3, 5 et 7, et demandez-lui s’il voit le nombre choisi. S’il dit « oui », la solution [sic] est 1. Tournez le solide pour ne plus montrer que les faces 2, 3, 6 et 7, et reposez la même question. Cette fois, « oui » entraîne la solution [sic] 2. Enfin, posez une dernière fois la question en présentant le solide de manière à montrer les faces 4, 5, 6 et 7. « Oui » correspond ici à 4. En additionnant les chiffres des trois réponses, on obtient le nombre choisi, ce que quiconque familier avec le système binaire expliquera facilement. Pour déterminer aisément les trois positions dans lesquelles il faut tenir le solide, faites simplement une marque à chacun des sommets qui doivent être dirigés vers vous quand vous regardez l’interlocuteur.
    On peut numéroter les faces d’un octaèdre d’autres façons intéressantes. Par exemple, il est possible de disposer les chiffres de 1 à 8 de telle sorte que le totale des faces soit une constante. Celle -ci doit être 18, mais (sans compter rotations et symétries) il y a trois moyens différents de le faire.

    NB. Le « patron » utilisé est le dernier sur le site cité par ROUX, numéroter les faces 7, 6, 4, 5, 1, 0, 2 et 3.

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