Un défi par semaine

Mars 2019, 1er défi

Le 1er mars 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 9

Nous disposons de $9$ pièces de monnaie à première vue toutes identiques.
En réalité huit sont authentiques et de poids égal mais une est fausse et plus légère que les autres.
Est-il possible d’identifier la fausse pièce en n’effectuant que deux
pesées sur une balance à plateaux ?

Solution du 4e défi de février :

Enoncé

La solution est $4$.

Si nous appelons $a$ et $b$ ces deux nombres positifs, l’énoncé nous dit que
$a+b\leq ab$.

Nous savons aussi que pour une paire de nombres positifs leur moyenne géométrique $\sqrt{ab}$ est inférieure ou égale à
leur moyenne arithmétique $\frac{a+b}{2}$, nous avons donc :

$a+b\leq ab\leq \left( \frac{a+b}{2}\right) ^{2}$, d’où $a+b\leq \frac{(a+b)^2}{4}$,
ainsi $1\leq \frac{a+b}{4}$.

Nous en déduisons que $a+b\geq 4$. De plus, si nous prenons $a=2$ et
$b=2$, nous avons bien $4=a+b\leq ab=4$. Donc la valeur minimale de
$a+b$ est 4. Observons que si $a+b=3$ alors $a+b>ab$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Mars 2019, 1er défi

    le 1er mars à 09:14, par Nico

    On prend 6 pièces parmi les 8, et on les pèse 3 à 3.

    Si les 2 plateaux sont équilibrés, alors la fausse pièce n’y est pas. Il ne reste plus qu’à comparer les 2 pièces restantes.
    Si les 2 plateaux ne sont pas équilibrés, on prend 2 pièces parmi les 3 du plateau le plus léger :

    • si les 2 pièces sont égales, alors la dernière est la fausse,
    • sinon, la plus légère est la fausse.
    Répondre à ce message
    • Mars 2019, 1er défi

      le 1er mars à 09:15, par Nico

      Correction, 6 pièces parmi les 9 !
      Si les 2 premiers plateaux sont équilibrés, alors la fausse pièce est parmi les 3 autres, et il suffit d’en comparer 2 pour déduire où est la fausse pièce

      Répondre à ce message
  • Mars 2019, 1er défi

    le 2 mars à 13:46, par Niak

    La réponse a été donnée, mais pour prolonger, on observe qu’il est inutile de comparer deux ensembles de pièces s’ils ne sont pas de la même taille et qu’en posant $C(n)$ le nombre maximal de pesées nécessaires à déterminer l’intruse parmi $n$ pièces en adoptant une stratégie optimale (i.e. minimisant ce nombre), on a pour $n>2$ (via la comparaison de deux sous-ensembles de taille $m$) :
    \[C(n) = \min_{m>0,\,2m\leq n}1+\max(C(m),C(n-2m))\] et $C(0) = C(1) = 0$, $C(2) = 1$.
    D’où l’on tire (sans démonstration) $C(n) = \lceil\log_3(n)\rceil$ et l’on observe au passage que cet optimal est atteint en adoptant la stratégie assez naturelle consistant à chaque étape à diviser l’ensemble en $3$ sous-ensembles les plus équilibrés possibles.
    Il n’est pas exclu qu’il existe une démonstration plus élégante et moins calculatoire de ces faits...

    Répondre à ce message
  • Mars 2019, 1er défi

    le 10 mars à 22:23, par Jerome

    Bonjour,

    Merci pour vos défis toujours renouvelés. En prolongement, en voici un autre :

    Nous disposons de 12 pièces de monnaie à première vue toutes identiques. En réalité 11 sont authentiques et de poids égal mais une est fausse et de masse légèrement différente.

    En trois pesées sur une balance à plateaux, est-il possible d’identifier la fausse pièce et de dire si cette fausse pièce est plus lourde ou plus légère que les autres ?

    Répondre à ce message

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