Un défi par semaine

Mars 2019, 5e défi

Le 29 mars 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 13

Un village comporte $70\,\%$ de « pires » et
$30\,\%$ de « purs ». Les « pires » disent la vérité $5$ fois sur
$100$ alors que les « purs » le font $90$ fois sur $100$.

Si l’on demande à un habitant : « Es-tu un pire ? » et qu’il répond
« Oui », quelle est la probabilité qu’il soit un « pire » ?

Solution du 4e défi de mars :

Enoncé

La solution est : $(x,y) = (2,5)$ et $(3,7)$

Dès que $x \geq 5$, le dernier chiffre de $x!$ est un $0$, donc le dernier chiffre de $x! + 3$ est un $3$ et celui de $6 \times \left(x! + 3\right)$ est un $8$.

Or, le dernier chiffre d’un nombre au carré comme $y^2$ est $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ ou $9$, donc le dernier chiffre de $y^2 + 5$ est $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ ou $9$, mais pas $8$. Cela montre que le cas $x \geq 5$ est impossible. Il ne reste qu’à examiner les cas restants.

  • Si $x = 1$, $6 \times (x! + 3)$ vaut $24$. Comme $19$ n’est pas un carré, cela ne correspond pas à une solution.
  • Si $x = 2$, $6 \times (x! + 3)$ vaut $30$. Comme $25 = 5^2$, cela correspond à la solution $(x,y) = (2,5)$.
  • Si $x = 3$, $6 \times (x! + 3)$ vaut $54$. Comme $49 = 7^2$, cela correspond à la solution $(x,y) = (3,7)$.
  • Si $x = 4$, $6 \times (x! + 3)$ vaut $162$. Comme $157$ n’est pas un carré, cela ne correspond pas à une solution.

Les seules solutions sont donc $(x,y) = (2,5)$ et $(3,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2019, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Mars 2019, 5e défi

    le 29 mars à 12:07, par Will

    La probabilité est de $\frac{7}{13}$, soit environ $0,54$.

    Démonstration :
    (proba que l’habitant soit un pire sachant qu’il a dit oui) = (proba que l’habitant soit un pire et qu’il dise oui) / (proba que l’habitant dise oui)
    $ $
    Le numérateur :
    (proba que l’habitant soit un pire et qu’il dise oui) = (proba que l’habitant soit un pire et qu’il dise la vérité)
    = (proba que l’habitant soit un pire) * (proba que l’habitant dise la vérité sachant qu’il est un pire)
    = (7/10) * (5/100)
    =35/1000
    $ $
    Le dénominateur :
    (proba que l’habitant dise oui) = (proba que ce soit un pire et qu’il dise vrai, ou alors que ce soit un pur et qu’il dise faux)
    = (proba que ce soit un pire qui dit vrai) + (proba que ce soit un pur qui dit faux)
    = (35/1000) + (proba que ce soit un pur)*(proba qu’il dise faux sachant que c’est un pur)
    = (35/1000) + (3/10)*(10/100)
    = 65/1000
    $ $
    La probabilité recherchée est donc
    (35/1000) / (65/1000) = 35/65 = 7/13

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  • Mars 2019, 5e défi

    le 29 mars à 12:31, par Celem Mene

    Pour répondre « oui » à la question « es-tu un pire », un pire doit dire la vérité et un pur doit mentir.

    Pour les pires cela se produit globalement : 7 / 10 * 1 / 20, soit 7 (fois sur) / 200
    et pour les purs : 3 / 10 * 1 / 10, soit 3 / 100 ou 6 / 200

    Ainsi donc 13 / 200 (7 / 200 + 6 / 200) pires et purs ensemble répondront « oui » à cette question.

    Probabilité pour qu’il soit un pire : 7 / 200 / 13 / 200, soit 7 / 13, env. 53.84 %

    Répondre à ce message
    • Mars 2019, 5e défi

      le 29 mars à 17:16, par Niak

      En effet. Pour répondre plus formellement, c’est une application directe de la formule de Bayes :
      \[P(Pire|Oui) = \frac{P(Oui|Pire)\cdot P(Pire)}{P(Oui)} = \frac{P(Oui|Pire)\cdot P(Pire)}{P(Oui|Pire)\cdot P(Pire) + P(Oui|Pur)\cdot P(Pur)}\]

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