Un défi par semaine

Mars 2020, 1er défi

Le 6 mars 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 10

Sur les neuf cartes de Sophie sont écrits les premiers nombres premiers à deux chiffres.
Sophie aimerait ranger ses cartes en ligne de façon à ce que la différence entre les nombres inscrits sur deux cartes voisines soit une puissance de $2$. Combien existe-t-il de rangements différents ?

Solution du 4e défi de février :

Enoncé

Le pentagone est formé de cinq triangles isocèles. Ainsi, la
somme de ses angles intérieurs vaut
$(5-2)\times180^\circ=540^\circ$.

Comme le pentagone est régulier, chacun de ses
angles mesure $\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$.

Ainsi, $\widehat{AEG} = 360^\circ- 108^\circ-90^\circ=162^\circ$.

Comme le triangle $AEG$ est isocèle, les angles de la base sont égaux, donc $2 \times \widehat{GAE} + 162^\circ = 180^\circ$, d’où l’on tire $\widehat{GAE} = 9^\circ$.

La solution est $9^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - - MURAT BAYSAN / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars 2020 à 18:35, par Lhooq

    Problème intéressant en ce sens qu’on peut chercher des solutions pour plus de nombres premiers, pour des nombres différents etc. J’ai donc fait un programme en Rust qui, très simplement, construit le graphe dont les sommets sont des nombres premiers et deux sommets ont une arête en commun si leur différence est une puissance de 2.

    J’ai ensuite cherché dans mon graphe l’ensemble des chemins hamiltoniens par retour en arrière qui est une forme de programmation dynamique (on part d’un sommet qu’on supprime du graphe, pour le graphe restant on cherche à générer l’ensemble des chemins hamiltoniens partant des voisins du sommet supprimé. On voit bien qu’à partir du moment où on a supprimé le premier sommet on revient au même problème mais avec un sommet en moins. La recherche termine forcément car à chaque étape on supprime un sommet du graphe et ce nombre est fini (eh oui, les informaticiens/algorithmiciens aiment bien assurer que leurs programmes terminent).

    Pour 9 à partir de 10 on trouve bien les 4 chemins trouvés :

    [11, 13, 17, 19, 23, 31, 29, 37, 41]
    [17, 13, 11, 19, 23, 31, 29, 37, 41]
    [41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13, 17]
    [41, 37, 29, 31, 23, 19, 17, 13, 11]

    Par contre pour les 12 premiers nombres premiers supérieurs à 10 il n’y a aucune solution ni pour 13...16 et on retrouve des solutions pour 17.

    Voilà le programme pour celles et ceux qui voudraient s’amuser : ici

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