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Un défi par semaine

Mars 2020, 3e défi

El 20 marzo 2020 - Escrito por Ana Rechtman Ver los comentarios (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 12

Trois carrés sont disposés comme le montre la figure ci-dessous.
Les aires des triangles colorés sont-elles égales?

Solution du 2e défi de mars :

Enoncé

Pour trouver la solution un peu plus facilement qu’en tâtonnant, remarquons qu’il y a deux types d’allumettes : celles qui font partie d’une seule figure (carré ou triangle), que l’on qualifiera de simples, et celles qui servent à la construction de deux figures, que l’on qualifiera de doubles. Dans l’exemple donné dans l’énoncé, on a donc quatre allumettes simples et une double.

Notons $a$ le nombre d’allumettes simples et $b$ le nombre d’allumettes doubles.

Puisque chaque allumette est soit simple, soit double, on a $a+b=21$.
Les sept triangles ont au total $7\times 3=21$ côtés, et les carrés ont $3\times 4=12$ côtés.

Mais chaque allumette double peut nous aider à construire deux de ces côtés.
Ainsi il faut que $a+2b=21+12=33$.

On obtient alors $b=(a+2b)-(a+b)=33-21=12$ et ainsi $a=9$.
Grâce à ces calculs, une possibilité est :

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Comentario sobre el artículo

Mars 2020, 3e défi

le 20 de marzo de 2020 à 08:57, par jokemath

LA réponse est oui.
Les 2 aires colorées valent chacune (abc)/2. Avec a, b et c représentant la longueur du côté de chacun des carrés.
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Mars 2020, 3e défi

le 20 de marzo de 2020 à 09:32, par amic

C’est pas homogène… Je dirais plutôt ac/2. Et si b est la longueur de celui du milieu, on a alors b²=a²+c².
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Mars 2020, 3e défi

le 20 de marzo de 2020 à 11:05, par jokemath

Vous avez tout a fait raison, j’ai oublié de diviser par b, en prenant pour b la longueur du côté du plus grand carré!
Je prends a pour la longueur du côté du carré de gauche et c pour celui de droite, et pour les mesures en degrés des 2 angles non droits du triangle rectangle qui apparait 2 fois, x et y, x étant le plus grand et y l’autre. Les côtés de ce triangle sont a, c et b est l’hypothènuse, alors sin(x) = c/b, et sin(y) = a/b.

En prenant la formule de l’aire dans les 2 triangles concernés, on a:
— L’aire du triangle de gauche est A1= (ab.sin( 360 - 90 - 90 - x ))/2 = (ab.sin( 180 -x))/2 = (ab.sin(x))/2 = ((ab).c/b)/2, donc A1 = ac/2. Voilà le b du dénominateur du sinus que j’ai oublié...
— L’aire du triangle du haut est A2= (bc.sin( 360 - 90 - 90 - y ))/2 = (bc.sin( 180 -y))/2 = (bc.sin(y))/2 = ((bc).a/b)/2, donc A2 = ac/2. Et re-voilà le b du dénominateur du sinus que j’ai oublié...

Alors A1 = A2

Désolé, les explications sont un peu lourdes, mais mon ordi est en panne, donc je ne peux pas faire une figure!
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Mars 2020, 3e défi

le 20 de marzo de 2020 à 09:35, par Gérard JONEAUX

Schéma du haut : quatre triangles rectangles égaux
Sur le schéma du bas, il est facile de démontrer que les aires des triangles sont égales.
Document joint : carres2.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 20 de marzo de 2020 à 09:43, par Gérard JONEAUX

Excusez, problèmes avec mon informatique achetée au précédent millénaire.
Revoici mes 2 schémas
Document joint : carres2-2.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 20 de marzo de 2020 à 21:31, par guillou25

Elles sont bien égales. Voir preuve.
Document joint : ti.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 22 de marzo de 2020 à 16:06, par jokemath

Très joli!
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Mars 2020, 3e défi

le 22 de marzo de 2020 à 16:27, par guillou25

Merci ! Une autre méthode pour montrer que l’aire des deux triangles «obtenus avec deux carrés» ont même aire en pièce-jointe.
Document joint : temp.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 22 de marzo de 2020 à 16:22, par ROUX

Voici ce qui suit:
Document joint : defi_mars_triangles.pdf
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Formule 1 triangle

le 24 de marzo de 2020 à 17:57, par dpmontange

Oui les aires triangulaires colorées sont bien égales.
Aire triangle=1/2 a b sin ( C )

Voir document joint 1. MARS 2020 3E DEFI
Document joint : 1._mars_2020_3e_defi.pdf
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Formule 2 triangle

le 24 de marzo de 2020 à 18:00, par dpmontange

Oui les aires triangulaires colorées sont bien égales.
Aire triangle=1/2 base x hauteur

Voir document joint 2. MARS 2020 3E DEFI
Document joint : 2._mars_2020_3e_defi.pdf
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MARS 2020 3E DĖFI, Preuve sans mots.

le 24 de marzo de 2020 à 22:12, par dpmontange

Oui les aires triangulaires colorées sont bien égales.

Voir document joint.
Document joint : 3._mars_2020_3e_defi.pdf
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Ana Rechtman

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Mars 2020, 3e défi

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