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Un défi par semaine

Mars 2020, 3e défi

Le 20 mars 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 12

Trois carrés sont disposés comme le montre la figure ci-dessous.
Les aires des triangles colorés sont-elles égales ?

Solution du 2e défi de mars :

Enoncé

Pour trouver la solution un peu plus facilement qu’en tâtonnant, remarquons qu’il y a deux types d’allumettes : celles qui font partie d’une seule figure (carré ou triangle), que l’on qualifiera de simples, et celles qui servent à la construction de deux figures, que l’on qualifiera de doubles. Dans l’exemple donné dans l’énoncé, on a donc quatre allumettes simples et une double.

Notons $a$ le nombre d’allumettes simples et $b$ le nombre d’allumettes doubles.

Puisque chaque allumette est soit simple, soit double, on a $a+b=21$.
Les sept triangles ont au total $7\times 3=21$ côtés, et les carrés ont $3\times 4=12$ côtés.

Mais chaque allumette double peut nous aider à construire deux de ces côtés.
Ainsi il faut que $a+2b=21+12=33$.

On obtient alors $b=(a+2b)-(a+b)=33-21=12$ et ainsi $a=9$.
Grâce à ces calculs, une possibilité est :

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Mars 2020, 3e défi

le 20 mars 2020 à 08:57, par jokemath

LA réponse est oui.
Les 2 aires colorées valent chacune (abc)/2. Avec a, b et c représentant la longueur du côté de chacun des carrés.
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Mars 2020, 3e défi

le 20 mars 2020 à 09:32, par amic

C’est pas homogène… Je dirais plutôt ac/2. Et si b est la longueur de celui du milieu, on a alors b²=a²+c².
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Mars 2020, 3e défi

le 20 mars 2020 à 11:05, par jokemath

Vous avez tout a fait raison, j’ai oublié de diviser par b, en prenant pour b la longueur du côté du plus grand carré !
Je prends a pour la longueur du côté du carré de gauche et c pour celui de droite, et pour les mesures en degrés des 2 angles non droits du triangle rectangle qui apparait 2 fois, x et y, x étant le plus grand et y l’autre. Les côtés de ce triangle sont a, c et b est l’hypothènuse, alors sin(x) = c/b, et sin(y) = a/b.

En prenant la formule de l’aire dans les 2 triangles concernés, on a :
— L’aire du triangle de gauche est A1= (ab.sin( 360 - 90 - 90 - x ))/2 = (ab.sin( 180 -x))/2 = (ab.sin(x))/2 = ((ab).c/b)/2, donc A1 = ac/2. Voilà le b du dénominateur du sinus que j’ai oublié...
— L’aire du triangle du haut est A2= (bc.sin( 360 - 90 - 90 - y ))/2 = (bc.sin( 180 -y))/2 = (bc.sin(y))/2 = ((bc).a/b)/2, donc A2 = ac/2. Et re-voilà le b du dénominateur du sinus que j’ai oublié...

Alors A1 = A2

Désolé, les explications sont un peu lourdes, mais mon ordi est en panne, donc je ne peux pas faire une figure !
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Mars 2020, 3e défi

le 20 mars 2020 à 09:35, par Gérard JONEAUX

Schéma du haut : quatre triangles rectangles égaux
Sur le schéma du bas, il est facile de démontrer que les aires des triangles sont égales.
Document joint : carres2.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 20 mars 2020 à 09:43, par Gérard JONEAUX

Excusez, problèmes avec mon informatique achetée au précédent millénaire.
Revoici mes 2 schémas
Document joint : carres2-2.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 20 mars 2020 à 21:31, par guillou25

Elles sont bien égales. Voir preuve.
Document joint : ti.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 22 mars 2020 à 16:06, par jokemath

Très joli !
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Mars 2020, 3e défi

le 22 mars 2020 à 16:27, par guillou25

Merci ! Une autre méthode pour montrer que l’aire des deux triangles « obtenus avec deux carrés » ont même aire en pièce-jointe.
Document joint : temp.jpg
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Mars 2020, 3e défi

le 22 mars 2020 à 16:22, par ROUX

Voici ce qui suit :
Document joint : defi_mars_triangles.pdf
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Formule 1 triangle

le 24 mars 2020 à 17:57, par dpmontange

Oui les aires triangulaires colorées sont bien égales.
Aire triangle=1/2 a b sin ( C )

Voir document joint 1. MARS 2020 3E DEFI
Document joint : 1._mars_2020_3e_defi.pdf
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Formule 2 triangle

le 24 mars 2020 à 18:00, par dpmontange

Oui les aires triangulaires colorées sont bien égales.
Aire triangle=1/2 base x hauteur

Voir document joint 2. MARS 2020 3E DEFI
Document joint : 2._mars_2020_3e_defi.pdf
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MARS 2020 3E DĖFI, Preuve sans mots.

le 24 mars 2020 à 22:12, par dpmontange

Oui les aires triangulaires colorées sont bien égales.

Voir document joint.
Document joint : 3._mars_2020_3e_defi.pdf
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