Un défi par semaine

Mars 2021, 4e défi

Le 26 mars 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 13

En prenant un nombre à deux chiffres qui est le carré d’un entier, quelle est la probabilité qu’en ajoutant un chiffre de $1$ à $9$ à sa gauche on obtienne un multiple de $11$ ?

Solution du 3e défi de mars :

Enoncé

La réponse est $1042$.

Soient $a$, $b$, $c$ les nombres de Wookies qui soutiennent respectivement l’équipe $A$, l’équipe $B$ et l’équipe $C$.

Soient $x$, $y$, $z$ les nombres de Jawas qui soutiennent respectivement l’équipe $A$, l’équipe $B$ et l’équipe $C$.

Nous avons déjà : $a+b+c+x+y+z=2021$, puisque chaque habitant soutient une équipe et une seule.

Il nous reste à trouver $a+b+c$ pour connaître le nombre de Wookies.

  • Il est clair que le nombre de réponses $oui$ faites par les Wookies est $a+b+c$, puisqu’ils disent toujours la vérité.
    Il nous faut encore analyser les réponses des Jawas.

Puisqu’un Jawa ment toujours, un Jawa qui soutient par exemple l’équipe $A$ va répondre deux fois $oui$, pour dire qu’il soutient l’équipe $B$ et $C$ et une fois $non$ lorsqu’on lui demande pour l’équipe $A$.

Le nombre de réponses $oui$ pour les Jawas est donc de $2x+2y+2z$.

  • Nous avons donc, $a+b+c+2x+2y+2z=3000$, d’où

\[3000=(a+b+c+x+y+z)+(x+y+z)=2021+x+y+z.\]
Ainsi, $x+y+z=3000-2021=979$, et
\[a+b+c=2021-(x+y+z)=2021-979=1042.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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  • Mars 2021, 4e défi

    le 26 mars 2021 à 12:33, par ROUX

    $ba$ et $cba$ est multiple de $11$.
    Si $cba$ est multiple de $11$ c’est que $c + a - b = 11.k$.
    $a - b = \Delta$
    $c = 11.k - \Delta$
    Comme $1 \le c \le 9$ alors $1 \le 11.k - \Delta \le 9$
    Pour $k = 0$, $-9 \le \Delta \le -1$ donc si le nombre des dizaines est toujours plus grand que le nombre des unités de au moins $1$ alors on aura toujours un $c$ qui va.
    Exemples : $73$ donc $473$ $(473/11 = 43)$ et $10$ donc $110$ $(110/11=10)$
    Pour $k = 1$ si le nombre des unités est toujours plus grand que le nombre des dizaines de au moins $2$ alors on aura toujours un $c$ qui va.
    Exemples $35$ donc $935$ $(935/11=85)$ et $19$ donc $319$ $(319/11=29)$

    Ouf !

    $16$ : oui ; $25$ : oui ; $36$ : oui ; $49$ : oui ; $64$ : oui et $81$ : oui.

    Donc ça marche pour les $6$ carrés.

    Aurais-je pu démontrer que les carrés à deux chiffres ont nécessairement des chiffres des dizaines et des unités qui obéissent toujours aux deux conditions ?

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