Un défi par semaine

Mars 2022, 1er défi

Le 4 mars 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 9

Combien de triangles non aplatis peut-on dessiner en utilisant les points comme sommets ?

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Solution du 4e défi de février 2022 :

Enoncé

Réponse : $71$ manières.

Il y a neuf places dans lesquelles placer les neuf chiffres.

Remarquons que si l’on fixe la place des chiffres $8$ et $9$, il reste sept places dans lesquelles placer, dans l’ordre croissant, les chiffres de $1$ à $7$.
Ainsi, il y a une unique façon d’écrire les chiffres de $1$ à $9$
une fois placé le couple $(8,9)$.

Mais le chiffre $8$ peut se trouver en première, deuxième, ..., dernière position, donc possède neuf positions possibles. Une fois ce chiffre placé, il reste huit places possibles pour le $9$, donc il y a $9\times8=72$ placements possibles du couple $(8,9)$.

Ainsi, pour placer les neuf chiffres de $1$ à $9$ de telle sorte que les sept premiers soient ordonnés, il y a $72$ possibilités.

Cependant, parmi ces possibilités, il faut exclure le cas où $8$ et $9$ occupent dans cet ordre les deux dernières places (l’ordre des neuf chiffres serait alors $123456789$, ce qui est exclu).

Finalement, il y a $72-1=71$ manières différentes d’ordonner ces neuf chiffres en respectant les conditions voulues.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Mars 2022, 1er défi

    le 4 mars à 07:29, par Al_louarn

    Il y a $9$ points donc $\binom{9}{3}$ triplets de points, dont $\binom{5}{3}$ sont alignés verticalement, et autant horizontalement. Le nombre de triangles non aplatis est donc $\binom{9}{3} - 2\binom{5}{3} = 84 - 20 = 64$

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    • Mars 2022, 1er défi

      le 4 mars à 08:49, par Al_louarn

      Il est facile de généraliser pour une croix avec $n$ points sur chaque branche, autour d’un point central. Le nombre de triangles non aplatis est alors $\binom{4n+1}{3} - 2\binom{2n+1}{3}$. On pourrait s’attendre à ce que ça donne un polynome compliqué mais en fait après calculs on obtient tout simplement $(2n)^3$.
      Pour $n=2$ on retrouve bien $64$ triangles non plats.
      Et au passage on a obtenu cette jolie formule : $\binom{4n+1}{3} = 2\binom{2n+1}{3} + 8n^3$

      Répondre à ce message

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