Un défi par semaine

Mars 2022, 2e défi

Le 14 mars 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 10

Les nombres indiquent l’aire de chaque partie. Quelle est l’aire de la partie colorée ?

PNG - 28.5 ko

Solution du 1er défi de mars 2022 :

Enoncé

Commençons par compter les triangles dont le point central n’est pas un sommet. On a $\binom{8}{3}$ manières de choisir trois points parmi les huit. Mais, parmi ces choix, il y a ${4\choose 3}$ triplets qui sont tous sur le segment horizontal (points alignés), et autant sur le segment vertical. On a donc déjà $\binom{8}{3}-2\times\binom{4}{3}=56-2\times4=48$ triangles.

Si l’un des sommets est le point central, on peut procéder de manière similaire : on a $\binom{8}{2}$ manières de choisir les deux autres sommets mais, parmi ces choix, $2\times \binom{4}{2}$ correspondent à trois points alignés. On dénombre alors $\binom{8}{2}-2\times\binom{4}{2}=28-2\times6=16$ triangles.

Ainsi, on a au total $48+16=64$ triangles.

Réponse : $64$ triangles.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Mars 2022, 2e défi

    le 14 mars à 16:24, par Al_louarn

    $x$ = aire du triangle vert
    $a$ = longueur du côté commun aux triangles d’aires $3$ et $5$
    $b$ = longueur du côté commun aux triangles d’aires $x$ et $6$
    $c$ = hauteur commune aux triangles d’aires $3$ et $x$
    $d$ = hauteur commune aux triangles d’aires $5$ et $6$
    Alors les aires des triangles vérifient :
    $\dfrac{ac}{2} = 3$, $\dfrac{ad}{2} = 5$,

    $\dfrac{bc}{2} = x$, $\dfrac{bd}{2} = 6$
    En multipliant les aires des triangles opposés deux à deux on obtient :
    $5x = \dfrac{abcd}{4} = 3 \times 6$
    D’où $x = \dfrac{18}{5}$

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    • Mars 2022, 2e défi

      le 14 mars à 17:44, par François

      Votre résultat est exact mais comme les triangles ne sont pas forcement rectangles il faut multiplier vos formules d’aire par le sinus de l’angle au centre. Par exemple $\displaystyle\frac {ac\sin\alpha} {2} = 3$. On obtient effectivement $\displaystyle 5x= \frac {abcd\sin^2\alpha} {4} = 3*6$ et le résultat.

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      • Mars 2022, 2e défi

        le 14 mars à 18:24, par Al_louarn

        Si vous relisez attentivement, j’ai défini $c$ et $d$ comme des hauteurs et non comme les longueurs de côtés communs entre triangles, donc je peux utiliser la formule classique valable pour tout triangle $aire = \dfrac{base \times hauteur}{2}$, pas besoin de sinus.

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        • Mars 2022, 2e défi

          le 14 mars à 18:38, par François

          Pardon, j’ai lu trop vite votre réponse.

          Répondre à ce message
  • Mars 2022, 2e défi

    le 17 mars à 18:54, par Didier Roche

    En se reportant à la figure, aire (DFE) = 1/2xDFXsin(alpha)XBF = 3 puis aire(FEC) = 1/2XFEXsin(alpha)XFC = 6
    et 5 = BFXsin(F)XFCX1/2
    alpha = pi-F d’où sin(alpha) = sin(F)
    D’où 3X6 = 1/2xDFXsin(F)XBF X 1/2XFEXsin(F)XFC ou 18 = (BFXsin(F)XFCX1/2)X1/2XDFXsin(F)XFE
    Finalement l’aire cherchée est 18/5.

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  • Mars 2022, 2e défi

    le 21 mars à 08:04, par Didier Roche

    Voici la figure :

    Document joint : defi_.jpg
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