Un défi par semaine

Mars 2022, 4e défi

Le 25 mars 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 12

Sur la surface d’un cube de côté $1$ cm, quelle est la longueur du chemin le plus court qui passe par tous les sommets ?

Solution du 3e défi de mars 2022 :

Enoncé

Réponse : Trois valeurs.

Notons $n$ le nombre en question. Si $n$ est pair, Alex dirait la vérité lorsqu’il dit qu’il est pair, et donc $n$ ne serait pas multiple de $3$. On en déduirait que Daniel ment lorsqu’il dit que le nombre est multiple de $3$, mais dit la vérité lorsqu’il dit qu’il se termine par $5$. Or cela n’est pas possible puisque le nombre est pair dans notre hypothèse de départ.

Par conséquent, $n$ est multiple de $3$, n’est pas pair et ne termine pas par $5$. En étudiant ce que dit Manu, $n$ ne peut pas être multiple de $5$, sinon il se terminerait par 0 et serait donc pair. Donc, la somme des chiffres de $n$ est $12$. Et nous savons que $n$ peut se terminer par $1$, $3$, $7$ ou $9$. Mais s’il se termine par $1$, la somme maximale de ses chiffres serait $10$. Pour les trois autres chiffres des unités possibles, on a les solutions $39, 57$ et $93$.

Ainsi, il existe trois valeurs pour ce nombre.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Mars 2022, 4e défi

    le 25 mars à 11:09, par Niak

    Il y a $8$ sommets et la distance minimale entre deux sommets est $1$ donc une solution est de longueur au moins $(8-1)\times1 = 7$. Cette borne est aisément atteinte, par exemple (histoire de donner une solution générique qui se généralise) en suivant un code de Gray sur $3$ bits (en assignant naturellement des coordonnées $\{0,1\}^3$ dans l’espace aux sommets du cube).

    Répondre à ce message
    • Mars 2022, 4e défi

      le 26 mars à 09:40, par pogarreau

      Sur la surface d’un carré, le plus court chemin reliant 4 sommets est un graphe avec un segment intérieur au carré. Voir schéma et calculs en pièce jointe.
      Ce qui semble intuitivement mieux que d’en faire le tour par les 3 arêtes du carré. Ensuite pour relier 2 faces de carrés sur le cube ayant ce graphe, une seule arête suffit.

      Du coup, la longueur du chemin sur la surface d’un carré le plus court reliant est : 3+ 2 racine(3) = 6.46410161513...

      Document joint : img_20220326_090020.jpg
      Répondre à ce message
      • Mars 2022, 4e défi

        le 26 mars à 09:52, par Niak

        Mais dans ce cas c’est un arbre couvrant, pas un chemin.

        Répondre à ce message
        • Mars 2022, 4e défi

          le 26 mars à 17:46, par pogarreau

          Merci Niak pour la définition. Le défi initial est du coup vraiment simple...

          Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?