Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Mars 2022, 4e défi

Le 25 mars 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 12

Sur la surface d’un cube de côté $1$ cm, quelle est la longueur du chemin le plus court qui passe par tous les sommets ?

Solution du 3e défi de mars 2022 :

Enoncé

Réponse : Trois valeurs.

Notons $n$ le nombre en question. Si $n$ est pair, Alex dirait la vérité lorsqu’il dit qu’il est pair, et donc $n$ ne serait pas multiple de $3$. On en déduirait que Daniel ment lorsqu’il dit que le nombre est multiple de $3$, mais dit la vérité lorsqu’il dit qu’il se termine par $5$. Or cela n’est pas possible puisque le nombre est pair dans notre hypothèse de départ.

Par conséquent, $n$ est multiple de $3$, n’est pas pair et ne termine pas par $5$. En étudiant ce que dit Manu, $n$ ne peut pas être multiple de $5$, sinon il se terminerait par 0 et serait donc pair. Donc, la somme des chiffres de $n$ est $12$. Et nous savons que $n$ peut se terminer par $1$, $3$, $7$ ou $9$. Mais s’il se termine par $1$, la somme maximale de ses chiffres serait $10$. Pour les trois autres chiffres des unités possibles, on a les solutions $39, 57$ et $93$.

Ainsi, il existe trois valeurs pour ce nombre.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Mars 2022, 4e défi

le 25 mars à 11:09, par Niak

Il y a $8$ sommets et la distance minimale entre deux sommets est $1$ donc une solution est de longueur au moins $(8-1)\times1 = 7$. Cette borne est aisément atteinte, par exemple (histoire de donner une solution générique qui se généralise) en suivant un code de Gray sur $3$ bits (en assignant naturellement des coordonnées $\{0,1\}^3$ dans l’espace aux sommets du cube).
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Mars 2022, 4e défi

le 26 mars à 09:40, par pogarreau

Sur la surface d’un carré, le plus court chemin reliant 4 sommets est un graphe avec un segment intérieur au carré. Voir schéma et calculs en pièce jointe.
Ce qui semble intuitivement mieux que d’en faire le tour par les 3 arêtes du carré. Ensuite pour relier 2 faces de carrés sur le cube ayant ce graphe, une seule arête suffit.

Du coup, la longueur du chemin sur la surface d’un carré le plus court reliant est : 3+ 2 racine(3) = 6.46410161513...
Document joint : img_20220326_090020.jpg
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Mars 2022, 4e défi

le 26 mars à 09:52, par Niak

Mais dans ce cas c’est un arbre couvrant, pas un chemin.
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Mars 2022, 4e défi

le 26 mars à 17:46, par pogarreau

Merci Niak pour la définition. Le défi initial est du coup vraiment simple...
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Ana Rechtman

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