Mars 2023, 1er défi

Le 3 mars 2023 - Ecrit par Romain Joly Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Tous les premiers vendredis du mois, retrouvez « Le défi du mois » : un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...
Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 9 : le Problème du mois
Le défi du mois est un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...

Les entiers $22$, $23$ et $24$ ont la propriété que tous les exposants qui apparaissent dans leurs décompositions en produits de facteurs premiers distincts sont impairs, puisque $22=2^1\times 11^1$, $23=23^1$ et
$24=2^3\times 3^1$. Quelle est la longueur maximale d’une suite d’entiers consécutifs ayant cette propriété ?

Solution du 4e défi de février 2023 :

Enoncé

La réponse est : 14

On note $x$ le nombre de personnes présentes au goûter avant l’arrivée de Takéo, et on note $S$ la somme des âges de ces personnes. On a alors $x=\frac{S}{x}$, donc $x^2=S$.

Lorsque Takéo arrive au goûter, l’âge moyen continue de coïncider avec le nombre de personnes, c’est-à-dire que l’on a $x+1=\frac{S+29}{x+1}$, d’où $(x+1)^2=S+29$.

Comme $S=x^2$, on obtient
\[ \begin{eqnarray*} x^2+29 &=& (x+1)^2\\ x^2+29 &=& x^2 +2x+1\\ 28 &=& 2x\\ 14 &=& x. \end{eqnarray*} \]

Il y avait donc $14$ personnes au goûter.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

Commentaire sur l'article

Mars 2023, 1er défi

le 3 mars à 08:23, par Al_louarn

Voici une suite de $7$ nombres consécutifs avec la propriété demandée :
$29=29^1$
$30=2^1 \times 3^1 \times 5^1$
$31=31^1$
$32=2^5$
$33 = 3^1 \times11^1$
$34 = 2^1 \times 17^1$
$35 = 5^1 \times 7^1$
On ne peut pas faire mieux que $7$ car une telle suite se trouve forcément entre deux nombres $2^2(2n+1)$ et $2^2(2(n+1)+1)=2^2(2n+1)+8$, dans lesquels l’exposant de $2$ est $2$ donc pair.
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Mars 2023, 1er défi

le 7 mars à 19:02, par François

Dans une suite d’entiers ayant cette propriété et ayant plus de $4$ éléments, il y en a un divisible par 4 (au pire le $4^{ième}$. Il s’écrit $n=4*2^{1+2\alpha}q$ avec $\alpha\ge0$ et $q$ impair.
Or $n+4=4(2^{1+2\alpha}q+1)$ et $2^{1+2\alpha}q+1$ est impair donc ne fait pas partie de la suite. Donc la suite contient au plus $\{n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3\}$ soit $7$ éléments. Al_louarn nous fournit une telle suite de 7 éléments.
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L'auteur

Romain Joly

Maître de conférences à l’Institut Fourier de Grenoble.

Un défi par semaine

Mars 2023, 1er défi

Solution du 4e défi de février 2023 :

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