Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Mars 2023, 2e défi

Le 10 mars 2023 - Ecrit par Romain Joly Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Tous les premiers vendredis du mois, retrouvez « Le défi du mois » : un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...

Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 10

Un certain polygone régulier possède trois fois plus de diagonales que de côtés. Combien a-t-il alors de côtés ?

Solution du 1er défi de mars 2023 :

Enoncé

La réponse est : 7.

Observons que l’on pourrait ajouter $21=3^1\times 7^1$, mais ni $20$ ni $25$ ne conviennent.
En continuant avec les entiers qui suivent, on trouve la suite
$29=29^1$, $30=2^1\times 3^1\times 5^1$, $31=31^1$, $32=2^5$, $33=3^1\times 11^1$, $34=2^1\times 17^1$ et $35=5^1\times 7^1$, ce qui donne une suite de sept nombres consécutifs. Cette suite ne peut être prolongée car ni $28=2^2\times 7$ ni $36=2^2\times3^2$ ne conviennent.
Montrons que ce phénomène d’obstruction est général et que la longueur maximale d’une telle suite est $7$. Parmi huit entiers consécutifs, l’un est toujours de la forme $8n+4$ ou bien $8n-4$. Or un tel nombre est divisible par $4=2^2$ et non par $8=2^3$. On en déduit qu’il y a au maximum sept nombres consécutifs vérifiant la propriété demandée.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

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Mars 2023, 2e défi

le 10 mars à 08:14, par Al_louarn

Si le polygone a $n$ côtés alors il a autant de sommets et donc on peut former $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ couples de sommets. Ces couples sont les extrêmités de segments, dont $n$ sont les côtés du polygone, et les autres sont les diagonales. Ainsi :
$\dfrac{n(n-1)}{2} - n = 3n$
$\dfrac{n(n-1)}{2} = 4n$
$n-1 = 8$
$n = 9$
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Mars 2023, 2e défi

le 10 mars à 08:18, par claude

Soit n le nombre de côté alors n=9

En calculant le nombre de diagonales des premiers polygones, on obtient :
N=3 —> d(nbre de diagonales)=0
N=4 —>d=2
N=5 —>d=5
N=6 —>d=9
N=7 —>d=14
On devine une suite de la forme :
d(n)=d(n-1)+[d(n-1)-d(n-2)+1]
Soit d(n)=2d(n-1)-d(n-2)+1
On voit rapidement que pour n=9
d(9)=2d(8)-d(7)+1=(2x20)-14+1=27
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Mars 2023, 2e défi

le 10 mars à 13:47, par claude

On obtient également le resultat d’une manière moins intuitive, En développant la suite
d(n)=2d(n-1)-d(n-2)+1
On obtient dn=d(n-1)+ n-2
Suite qu’on peut encore améliorer pour obtenir dn uniquement en fonction de n :
dn=( n-2)+(n-3)+(n-4)+...+4+3+2
Soit en réduisant :
dn=n(n-3)/2
Et pour dn=3n
3n=n(n-3)/2 —> n=9
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Mars 2023, 2e défi

le 14 mars à 10:02, par Bernard Hanquez

Bonjour,

Un polygone régulier à n côtés possède n * (n - 3) / 2 diagonales.
Il suffit donc de résoudre l’équation :
n * (n - 3) / 2 = 3 * n
soit : n^2 - 3 * n = 6 * n
en simplifiant par n on obtient n -3 = 6
donc n = 9
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L'auteur

Romain Joly

Maître de conférences à l’Institut Fourier de Grenoble.

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