Un desafío por semana

Marzo 2014, segundo desafío

El 14 marzo 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 10 marzo 2014
Artículo original : Mars 2014, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío...

Semana 11:

Se tiene $9$ botones luminosos de color verde o rojo. Al apretar un botón, los colores de los botones adyacentes cambian, pero no aquellos adyacentes en diagonal. Si todos los botones son verdes, ¿es posible apretar algunos botones de modo que todos se vuelvan rojos ?

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Solución del primer desafío de marzo

Enunciado

Las parejas que satisfacen la ecuación son $(10,191)$, $(20,161)$, $(30,111)$ y $(40,41)$.

Se tiene $a^2=10(201-b)$. Por lo tanto, $201-b=10x^2$ para algún natural positivo$x$, ya que de esta manera se cumple $10(201-b)=10^2x^2$. Como $b\geq 1$, de eso resulta que
\[x^2=\frac{201-b}{10}\leq \frac{201-1}{10}=20,\]
es decir, $x\leq \sqrt{20}<5$. En consecuencia, los valores posibles de $x$ son $1,2,3$ y $4$, y las soluciones correspondientes son $(10,191)$, $(20,161)$, $(30,111)$ y $(40,41)$.

Post-scriptum :

Para saber más acerca de la imagen del mes de marzo, lea La curva de Menger por Étienne Ghys y Jos Leys.

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’La curva de Menger’’, por Jos Leys

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