Un desafío por semana

Marzo 2018, quinto desafío

El 30 marzo 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 30 marzo 2018
Artículo original : Mars 2018, 5e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 13:

Encontrar el mayor entero positivo $d$ que divide a todos los números de la forma $n(n+1)(2n+1996)$, donde $n$ es un entero positivo.

Solución del cuarto desafío de marzo:

Enunciado

La respuesta es $p=(n+1)!-1$.

En efecto, sea $p$ el valor de la suma.

Tenemos entonces
\[\begin{eqnarray*} p + 1 & = & 1 + (1\times 1!)+(2\times 2!)+(3\times 3!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 2!+(2\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (3\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 3!+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (4\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (5\times 4!)+\cdots+(n\times n!). \end{eqnarray*}\]

Continuando de esta manera, obtenemos $p+1=(n+1)!$. Por lo tanto, $p=(n+1)!-1$.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2018, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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