Un desafío por semana

Marzo 2019, primer desafío

El 1ro marzo 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 1ro marzo 2019
Artículo original : Mars 2019, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 9

Se dispone de $9$ monedas que, a primera vista, parecen todas idénticas. En realidad, ocho son idénticas en peso y una es falsa, de peso menor al de las otras. ¿Es posible identificar la moneda falsa con solo dos comparaciones de peso en una balanza de dos brazos?

Solución del cuarto desafío de febrero:

Enunciado

La solución es $4$.

Si denotamos $a$ y $b$ estos dos números positivos, el enunciado nos señala que $a+b\leq ab$.

Sabemos también que para un par de números positivos $a,b$, la media geométrica
$\sqrt{ab}$ es menor o igual que la media aritmética $\frac{a+b}{2}$. Tenemos entonces:
\[a+b\leq ab\leq \left( \frac{a+b}{2}\right) ^{2},\]
por lo que
\[a+b\leq \frac{(a+b)^2}{4}.\]
Por lo tanto, $1\leq \frac{a+b}{4}$.

Deducimos entonces que $a+b\geq 4$. Además, tomando $a=2$ y $b=2$, se verifica $4=a+b\leq ab=4$. Por lo tanto, el valor mínimo de $a+b$ es 4. Notemos que si $a+b=3$ entonces $a+b>ab$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Disponible en www.pug.fr

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.