Sin embargo, el último dígito de un cuadrado perfecto $y^2$ es $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$, por lo que la última cifra de $y^2 + 5$ es $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$, y nunca $8$. Esto prueba que el caso $x \geq 5$ es imposible. Solo queda examinar los casos restantes.

• Si $x = 1$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $24$. Como $19$ no es un cuadrado perfecto, esto no genera una solución.
• Si $x = 2$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $30$. Como $25 = 5^2$, esto genera la solución $(x,y) = (2,5)$.
• Si $x = 3$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $54$. Como $49 = 7^2$, esto genera la solución $(x,y) = (3,7)$.
• Si $x = 4$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $162$. Como $157$ no es un cuadrado perfecto, esto no genera una solución.

Las únicas soluciones son entonces $(x,y) = (2,5)$ y $(3,7)$.