Enunciado

La solución es $r=1$.

Escribamos el número $r$ como fracción irreducible $r = \frac ab$ : los números $a$ y $b$ son naturales y primos entre ellos.

Se tiene entonces $ r + \frac 1r = \frac{a^2+b^2}{ab}$.

Si este número es un entero, entonces el denominador $ab$ debe dividir al numerador $a^2 + b^2$.

Por lo tanto, $a$ divide $a^2 + b^2$, por lo que debe dividir a $b^2$.

Como $a$ y $b$ son primos entre ellos, esto implica que $a = 1$.

De manera análoga se prueba que $b = 1$. Esto implica $r = 1$.

Puesto que, recíprocamente, $1$ es claramente una solución, se tiene que $r = 1$ es el único número racional positivo que responde a la pregunta.