Mathématiques savantes et pratiques d’artisan en pays d’Islam à travers la division des figures planes

IXe-XVe siècles

Piste rouge Le 27 novembre 2022  - Ecrit par  Marc Moyon Voir les commentaires

La division des figures planes est un chapitre géométrique développé dans de nombreux ouvrages écrits en arabe. Dans le prolongement des pratiques grecques, ce chapitre se retrouve également dans des développements originaux en pays d’Islam, c’est-à-dire toutes les régions dominées et unifiées par une seule religion - l’Islam -. L’objectif de la présente contribution est de montrer la diversité à partir de plusieurs ouvrages des pays d’Islam du IXe siècle au XVe siècle.

Cette diversité s’appuie notamment sur la rencontre d’une approche mathématique avec certaines pratiques corporatistes. En effet, outre son traitement en géométrie euclidienne hypothético-déductive, la division des figures planes est aussi liée, entre autres, aux pratiques d’artisans, d’architectes ou encore de juristes. Par exemple, dans la tradition islamique, le qāḍī [juge] a à se prononcer sur le partage des champs entre héritiers ou ayants droit. Diviser une figure géométrique en un certain nombre de figures similaires est un problème important pour les décorateurs qui embellissent les palais, madrasas [écoles coraniques] et autres mosquées ou mausolées.

Ladite diversité s’exprime également par la richesse des procédures de construction et de résolution pour lesquelles les connaissances mathématiques requises sont variées.

Plusieurs géomètres des pays d’Islam proposent ces problèmes dans leurs écrits. C’est ce que nous donnons à voir ci-après.

Sciences dans les pays d’Islam, aspects mathématiques et culturels à l’époque islamique

À partir de l’Hégire (632), les pays d’Islam vont progressivement s’étendre jusqu’à correspondre à un très vaste territoire (voir fig.1 pour le VIIIe siècle). Ils s’étendent progressivement des Pyrénées à Tombouctou (du nord au sud), et de Samarcande à Saragosse (d’est en ouest). Dans cette zone géographique contrôlée et pacifiée, la loi islamique est le droit canon de la société. Toutes les routes, en particulier celles du commerce, sont libres.

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Fig. 1 - Les pays d’Islam au VIIIe s.

Dans l’histoire des pratiques scientifiques des pays d’islam, on peut grossièrement distinguer trois grandes périodes (Djebbar, 2001).

  • La première est une période d’appropriation du savoir des Anciens (syrien, persan, sanskrit ou grec). Les activités scientifiques bénéficient de la fluidité des circulations : celles des hommes et celles des livres par exemple. Les pratiques locales (poids et mesures, calcul des héritages, art décoratif, astrologie, par exemple) ne sont pas négligées et les savoirs savants les consolident et introduisent alors des approches rationnelles plus systématiques. La langue arabe, celle du Qur’ān [Coran], s’impose comme langue de communication scientifique [1]. Un important mouvement de traduction se développe, du VIIIe siècle jusqu’au milieu du Xe siècle, pour prendre connaissance de l’ensemble du savoir alors disponible (Gutas, 2005) et le diffuser largement. Dès les premières conquêtes de nouveaux territoires, l’Islam confie aux sciences un rôle de premier plan.
  • La deuxième période de l’histoire des pratiques scientifiques dans les pays d’Islam s’étend du IXe siècle au XIIe siècle. C’est ce que l’historien retient comme « l’âge d’or des sciences dans les pays d’Islam », qui correspond à une période de création et de développement scientifique. Lorsque les connaissances des Anciens ont été assimilées, les hommes de sciences des pays d’Islam les ont enseignées, commentées et dépassées. De nombreux foyers scientifiques voient le jour, tant en Orient qu’en Occident, comme à Bagdad, Samarcande, Le Caire, Cordoue, mais aussi à Kairouan, Nishapur ou Marrakech. Outre l’amélioration des résultats hérités des Anciens ou provenant d’Inde, des innovations sont réalisées, par exemple, en médecine, en astronomie et en mathématiques. De nouvelles disciplines sont développées, comme la trigonométrie, l’algèbre et la combinatoire pour les mathématiques. Ces développements ont été largement favorisés par plusieurs facteurs comme, entre autres, le patronage des princes et en premier lieu celui des califes [2] eux-mêmes, diverses demandes sociales ou encore la non-intervention de la religion dans les pratiques scientifiques.
  • La troisième période n’est pas une période de déclin comme elle a souvent été caractérisée. En effet, les recherches scientifiques originales se poursuivent (en mathématiques et en astronomie) mais elles sont plus isolées dans plusieurs parties de l’aire islamique, tant à l’Ouest avec le Maghreb et l’Andalus qu’à l’Est avec l’Iran actuel. Cette période est caractérisée, à partir de la fin du XIIe siècle, par l’effacement de l’arabe comme seule langue du discours scientifique. En effet, trois autres langues viennent concurrencer l’arabe : le persan en Orient, l’hébreu et le latin en Occident (Moyon, 2021).

Les hommes de sciences des pays d’Islam, quel que soit leur profil, ont profité de la vie de la cité, de ses règles et de ses contingences, pour orienter et approfondir une partie de leur production. Nous allons maintenant aborder quelques aspects de la « culture islamique » (prise dans son sens le plus large) qui peuvent être considérés comme une impulsion de la recherche scientifique dans les pays d’Islam.

Aspects culturels

Pour être encouragée et développée, toute connaissance scientifique a besoin d’un soutien institutionnel et de valeurs culturelles. La science dans les pays d’Islam ne fait pas exception. Tout d’abord, sur le plan institutionnel, on peut citer la forte volonté politique de nombreux califes pour soutenir la recherche et l’enseignement scientifiques. Ensuite, sur le plan culturel, plusieurs témoignages directs ou indirects lèvent le voile sur l’existence d’une interaction entre la science savante et le savoir-faire des artistes, artisans et autres hommes de loi [3]. Nous verrons que certaines de ces preuves témoignent même d’une certaine stimulation des savants par ou pour les artisans.

Les Omeyyades (661-750) et les premiers Abbassides (surtout entre 750 et 850) ont exprimé la même volonté en soutenant les activités scientifiques. Le calife al-Ma’mūn (813-833) est probablement le plus significatif. Par exemple, pour doter la bibliothèque de bayt al-ḥikma [Maison de la sagesse] de Bagdad, il intercède auprès de Léon V (813-820), empereur de Byzance, pour obtenir des ouvrages de philosophie et de sciences. Il soutient également des délégations de savants en Asie Mineure et à Chypre pour apporter des livres écrits en grec. Il organise la mesure du diamètre de la Terre. Il confie des missions à des scientifiques afin de déterminer les lieux géographiques de divers événements décrits dans le Qur’ān. Ce même calife encourage aussi al-Khwārizmī [4] à « composer un petit livre sur al-jabr et al-muqabala », à savoir le Mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa l-muqābala [Recueil sur le calcul par la restauration et la comparaison] (Rashed, 2007, p.95), qui peut aujourd’hui être considéré comme l’acte de naissance officiel de l’algèbre [5] en tant que nouveau domaine de connaissance (avec ses propres domaines d’application). Ce type de patronage était encore présent au moins jusqu’à la première moitié du XVe siècle. Cela est confirmé par l’astronome et mathématicien al-Kāshī [6] (m. 1429) dans sa correspondance avec son père. Membre du personnel scientifique d’Ulūgh Beg (1394-1449) à Samarcande, l’un des plus importants foyers scientifiques de l’Orient musulman, il écrit à propos de la construction d’un mihrāb [7] selon les souhaits du sultan :

Sa Majesté a dit [un jour] : ’’Nous voudrions faire un trou dans le mur d’un mihrāb de telle sorte que le soleil puisse briller par ce trou pendant un court moment à l’heure [de la prière] de l’après-midi, en été comme en hiver. Ce trou unique doit être rond de l’intérieur, mais de l’extérieur il doit être de telle sorte que le soleil ne puisse pas passer à travers lui à d’autres moments que celui de la [prière] de l’après-midi. Ce [souhait royal] avait été [déjà] exprimé avant mon arrivée, et personne n’avait pu le réaliser ; [mais] quand je suis venu [ici], j’ai fait cela aussi (trad. de l’auteur d’après Bagheri, 1997, p.244).

Ce dernier témoignage nous permet d’évoquer l’idée qu’une partie de la production scientifique (recherche et enseignement) peut être considérée comme une réponse à des besoins sociétaux qu’ils soient individuels ou collectifs. Ces réponses s’adressent alors à plusieurs praticiens tels que les architectes ou les artisans décorateurs. Dans un passage bien connu, al-Khwārizmī lui-même mentionne plusieurs autres domaines d’application de l’algèbre, par exemple :

J’ai voulu qu’il [son ouvrage] enferme ce qui est subtil dans le calcul et qui en lui est le plus noble, ce dont les gens ont nécessairement besoin dans leurs héritages, leurs legs, leurs partages, leurs arbitrages, leurs commerces, et dans tout ce qu’ils traitent les uns avec les autres lorsqu’il s’agit de l’arpentage des terres, de la percée des canaux, de la mensuration, et d’autres choses relevant de ses sortes (Rashed, 2007, p.95).

La dualité entre le savant et le praticien n’est pas très connue pour le Moyen Âge mais elle est pourtant bien réelle. Elle peut être illustrée par trois éminents savants des pays d’Islam qui fournissent des témoignages sur des réunions entre mathématiciens et artisans, que l’on pourrait considérer comme des moments pour discuter de méthodes de conception de motifs ornementaux dans plusieurs matériaux (bois et carreaux, par exemple) ou d’éléments architecturaux.

  • Le premier, Abū al-Wafā’ al-Būzjānī (940-998), est un astronome et mathématicien persan qui a travaillé à Bagdad à partir de 959. Dans son livre Kitāb fīmā yaḥtāju ilayhi as-sanī’ min al-a’māl al-handasiyya [Livre sur ce qui est nécessaire des constructions géométriques pour les artisans], il précise qu’il a participé à une telle réunion dans laquelle a été discutée la construction d’un carré à partir de trois carrés égaux (Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.145 ; Djebbar, 2014, p.129) (voir ci-après).
  • Le second est le célèbre mathématicien et poète persan : ’Umar al-Khayyām (1048-1131). Dans une œuvre sans titre, il rapporte la solution d’un problème (par l’utilisation d’une cubique) réglé lors d’une réunion regroupant des mathématiciens, des géomètres et des artisans, qui pourrait avoir eu lieu à Isfahan (Amir-Moez, 1963). La collaboration d’Al-Khayyām avec des artisans ne semble pas se limiter à cela. En effet, il pourrait être le concepteur du dôme nord de la Mosquée du vendredi d’Isfahan (Masjed-e Jāme’) (Özdural, 1998).
  • La troisième et dernière preuve date du XVe siècle. Dans une des deux lettres à son père aujourd’hui conservée, al-Kāshī décrit un problème résolu lors d’une réunion entre artisans, mathématiciens et autres dignitaires (Kennedy, 1960, p. 198). Il a également fait preuve d’une excellente connaissance des travaux des architectes, décorateurs et autres artisans en calculant la mesure des coupoles et des muqarnaṣ dans son ouvrage majeur Miftāḥ al-ḥisāb [Clé de l’arithmétique] (Dold-Samplonius, 2020 ; Aydin, Hammoudi & Bakbouk 2020) [8].
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Fig. 2 - Exemples de muqarnaṣ, palais de l’Alhambra (Grenade)

Nous allons maintenant donner à voir quelques exemples de l’étroite relation entre les développements spéculatifs des savants et les questions réelles des praticiens, quelle que soit leur corporation d’origine, avec un type de problèmes géométriques : la division des figures planes.

La division de figures planes entre pratiques savantes et professionnelles.

Notre propos n’est pas ici de faire l’historique de ce type de problème, nous y avons contribué ailleurs (Moyon, 2017) [9]. Néanmoins, il est nécessaire de détailler ce que nous entendons par « division de figures planes ».
Il s’agit d’un chapitre très ancien des mathématiques. Des problèmes de division et de partage sont déjà transmis par les scribes de l’ancienne Babylone et datent de 1800 avant J.C. (Proust, 2022). Typiquement, découper ou diviser une figure plane, c’est la partager en fonction de plusieurs contraintes fixées a priori. Ces contraintes sont liées à des propriétés géométriques de la ou des transversales ou des figures désirées a posteriori. Elles portent sur des grandeurs avec plusieurs conditions sur les rapports donnés sur les parties obtenues après la division. Par exemple, on doit diviser un losange en deux parties selon un rapport donné par une droite parallèle à l’un de ses côtés. Les problèmes peuvent aussi consister à diviser une (ou plusieurs) figure(s) donnée(s) afin d’en obtenir une (ou plusieurs) autre(s) en respectant des conditions, comme, entre autres, celles de similitude [10].

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Fig. 3 - Exemples de divisions de figures planes.
(à gauche) Partager le parallélogramme ABCD en deux parties dans un rapport m à n selon une parallèle aux côtés.
(à droite) Découper un triangle équilatéral en neuf triangles équilatéraux.

Il n’est pas difficile de deviner que ces problèmes peuvent facilement être liés aux activités professionnelles de la vie quotidienne [11]. Des traditions artisanales ou juridiques d’une telle sophistication impliquaient une quantité importante de connaissances techniques et mathématiques. Même si ces connaissances étaient avant tout transmises de maîtres à apprentis (comme par exemple les artisans décorateurs travaillant encore aujourd’hui au Maroc) ou d’un frère à l’autre dans une même corporation plutôt que d’être écrites, il est possible d’émettre quelques hypothèses à partir d’ouvrages traitant des mathématiques [12].

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Fig. 4 - Artisan décorateur pour la rénovation des Tombeaux Saadiens datant de la fin du XVIe siècle (Marrakech, Maroc).

L’orientation savante de la division des figures planes dans la science des pays d’Islam est grosso modo caractérisée par la réception et l’appropriation d’un texte d’Euclide [13]. Tout d’abord, al-Sijzī, l’un des géomètres des pays d’Islam les plus prolifiques du Xe siècle, écrit un opuscule qui se réfère explicitement au Kitāb Uqlīdis fī l-qismat [Livre d’Euclide sur les divisions] (Hogendijk, 1993, p. 149). Il pourrait s’agir d’une traduction arabe partielle de Sur les divisions, un livre perdu d’Euclide. Al-Sijzī introduit trente-cinq problèmes, dont quatre seulement sont prouvés. Les autres sont considérés comme faciles par le mathématicien persan (Hogendijk, 1993, p. 159). Ensuite, un autre auteur, Muḥammad al-Baghdādī, proposa le même type de problème dans un ouvrage savant, le De superficierum divisionibus Liber [Livre sur la division des figures], inspiré du précédent (Moyon, 2011a). Seule la traduction latine, probablement achevée au XIIe siècle, a survécu. L’auteur, vraisemblablement actif entre le Xe et le XIIe siècle en orient musulman, reste inconnu. Dans ces deux livres, les énoncés sont très généraux et les preuves données sont construites selon le modèle euclidien (hypothético-déductif). Ils sont basés sur les Éléments, et en particulier sur les livres I, II, V et VI.

  • Exemple 1 : chez Muḥammad al-Baghdādī (énoncé, construction démontrée)

Diviser un quadrangle à côtés parallèles, selon un rapport donné, par une droite parallèle à l’un de ses côtés parallèles.
Soit ABGD le quadrangle à côtés parallèles que je veux diviser selon le rapport de g à h par une droite parallèle à son côté AB.
Je divise la droite BG au point E selon le rapport de g à h et je trace la droite EF parallèle à la droite AB, et la proposition est obtenue.

En effet, d’après la première [proposition] du sixième [Livre d’Euclide], le rapport du quadrangle ABEF au quadrangle FEGD est le même que [celui] de la droite BE à la droite EG, et par conséquent le même que [le rapport] de g à h, ce qui était proposé.

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Fig. 5

(Moyon, 2017, p. 339)

Analyse mathématique

Soient ABGD un parallélogramme, et $\frac{g}{h}$ un rapport donné.

Divisons ABGD selon le rapport $\frac{g}{h}$ par une ligne parallèle à AB. Divisons BG au point E selon le rapport $\frac{g}{h}$ [Élém. VI.10].
Traçons la parallèle à AB passant par E ; elle coupe BG en F. [Élém. I.31 ; I.17].

Montrons que EF est la droite cherchée.
$\frac{ABEF}{FEGD}=\frac{BE}{EG}$ (Éléments VI.1)

[$\frac{BE}{EG}=\frac{g}{h}$, par hypothèse]

$\frac{ABEF}{FEGD}=\frac{g}{h}$ (Éléments V.11).

(Moyon, 2017, p. 538)

  • Exemple 2, chez Abū al-Wafā’ al-Būzjānī (énoncé, construction non démontrée)

Si on veut partager un triangle ABG en deux parties [égales] avec une ligne passant par un point d’un côté. Que ce point [soit] D. Et si on veut cela, on partage la ligne BG en sa moitié.

Si la division tombe sur le point D, traçons AD, et le triangle ABG sera partagé par sa moitié par la ligne AD.

Si la division ne tombe pas sur le point D, elle tombe sur un autre point comme le point H, on joint AD, AH, et on fait sortir du point H une ligne HR parallèle à la ligne AD, et on rejoint DR, et le triangle ABG sera partagé en deux moitiés par la ligne DR.

Et voici sa figure :

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Fig. 6

(trad. de l’auteur à partir de Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.103-104)

Analyse mathématique

  • Si D est le milieu de [BG], alors ADG=ADB, et (AD) est bien la ligne cherchée.
  • Si D n’est pas le milieu de [BG], soit H ce milieu. Alors, on a :
    AHG=AHB
    AHD+ADG = AHR+RBH
    Or AHD=DRA et AHR=HRD,
    donc DRA+ADG = BHR + HRD
    on a finalement, RDGA = BRD.

Découper pour décorer : l’exemple d’Abū al-Wafā’ al-Būzjānī

Dans le dixième chapitre du Kitāb fīmā yaḥtāju ilayhi as-sanī’ min al-a’māl al-handasiyya, Abū al-Wafā’ nous fournit de précieux éléments sur la construction d’un carré à partir de plusieurs carrés et réciproquement [14].

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Fig. 7 - Découpage de deux carrés pour construire un carré, détail de l’Iwan ouest de la mosquée du vendredi, Isfahan.

Abū al-Wafā’ al-Būzjānī expose longuement la division de trois carrés égaux afin d’en composer un autre. Pour ce problème, il est amené à comparer la démarche empirique de l’artisan à celle, spéculative, du géomètre en opposant deux méthodes des artisans décorateurs basées sur le savoir-faire, l’intuition, l’expérimentation et le tâtonnement à l’application d’un résultat théorique établi par des mathématiciens déconnectés de la conception et de la réalité matérielle.

Voici son témoignage :

Un groupe de géomètres et d’artisans se sont trompés au sujet de ces carrés et de leur composition, les géomètres à cause de leur peu d’expérience dans la pratique et les artisans à cause de leur dénuement dans la science de la démonstration ; et ce parce que le géomètre, lorsqu’il n’a pas d’expérience dans la pratique, il lui est difficile d’approcher, selon les conceptions de l’artisan, ce qui est, pour lui, juste à l’aide des démonstrations à l’aide des lignes.
Ce que vise l’artisan c’est ce qui lui facilite la construction et lui montre la justesse de ce qu’il voit par les sens et l’observation ; et il ne se soucie pas de la démonstration de la chose imaginée et de la justesse des lignes.
Le géomètre, [lui], dès lors que la démonstration de la chose imaginée est établie, ne se soucie pas de la justesse de cela par l’observation alors qu’elle n’est pas exacte.
(…)
Le géomètre connaît la justesse de ce qu’il veut par la démonstration, lorsque c’est lui qui extrait les notions sur lesquelles opèrent l’artisan et l’arpenteur. Mais il lui est difficile d’appliquer le résultat de la démonstration lorsqu’il n’a pas de savoir-faire dans ce que réalisent l’artisan et l’arpenteur.

Les plus experts des géomètres, lorsqu’ils sont interrogés au sujet de quelque chose relative à la division des figures ou de quelque chose relatif au produit des lignes, restent perplexes à ce sujet et ont besoin d’une longue réflexion (Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.141-145 ; Djebbar, 2014, p.128-129).

Abū al-Wafā’ reconnait également que certaines des méthodes utilisées par les artisans étaient erronées, même si elles semblaient correctes en apparence pour un observateur non instruit en géométrie savante.

J’ai assisté à une réunion où il y avait un groupe d’artisans et de géomètres qui ont été interrogés sur la construction d’un carré à l’aide de trois carrés. Le géomètre, lui, a déterminé facilement une ligne en puissance de trois carrés. Mais aucun des artisans n’était satisfait de ce qu’il avait fait, parce que l’artisan veut diviser ces carrés en parties à l’aide desquelles il compose un seul carré. Quant aux artisans, ils ont présenté plusieurs méthodes. Certaines d’entre elles avaient une démonstration et d’autres étaient fausses, sauf que celles qui n’avaient pas de démonstration étaient, de visu, proches de l’exactitude, ce qui faisait penser à celui qui les observaient qu’elles étaient exactes (Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.144-145 ; Djebbar, 2014, p.128-129).

Il a ensuite expliqué certaines des méthodes connues des artisans afin de distinguer les constructions correctes (c’est-à-dire démontrables par les géomètres) des autres. Le mathématicien persan démontre également pourquoi certaines méthodes sont inexactes. Après avoir étudié les méthodes des artisans, il donne sa propre construction qui pourrait inspirer un nouveau motif décoratif (Özdural, 2000).

Sur la composition et la division des carrés :

Nous divisons deux carrés en deux moitiés selon les diamètres, et nous appliquons chacune d’elles à l’un des côtés du troisième carré, en mettant l’angle demi droit de chaque triangle sur l’un des angles du carré et sa diagonale sur le côté du carré.
Alors une partie du triangle dépasse du côté de l’autre angle du carré. Puis nous joignons les angles droits des triangles à l’aide de lignes droites [comme BZ, par exemple]. Ce sera le côté du carré cherché. Alors, de chaque grand triangle, se sépare un petit triangle [BMG] que nous coupons et que nous déplaçons vers le triangle apparaissant sur l’autre côté [HMZ] (Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.145 ; Djebbar, 2014, p.134-135).

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Fig. 8 - Construction d’un carré à partir de trois carrés identiques (d’après un découpage d’Abū al-Wafā’ al-Būzjānī).

La science des héritages : Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, Ibn Ṭāhir al-Baghdādī et al-Karajī

Les rituels et les prescriptions religieuses dans le respect d’al-Qur’ān et des ḥadīth [paroles du prophète Muḥammad] comportent des problèmes techniques qui encouragent les recherches scientifiques. Citons, par exemple, la détermination de la qibla (la direction de la Mecque), du mois lunaire, et surtout du ramaḍān, ou encore le calcul de l’heure exacte pour toutes les prières d’une même journée.
Mais, intéressons-nous ici à un autre aspect de la loi islamique : le ’ilm al-farā’id [science des partages de l’héritage]. Outre les questions d’arithmétique ou d’algèbre [15], cette science pose également des problèmes géométriques dont le partage des terres entre associés ou bénéficiaires.

Tous ces problèmes semblent être des questions (au moins dans la forme) présentées à l’arpenteur pour la délimitation ou la séparation des champs ou au qāḍī [juge] lors de la répartition des héritages. C’est précisément le contexte des problèmes de partage avec aménagement d’un chemin. On les retrouve dans plusieurs ouvrages de géométrie ou dans les manuels de calcul dans le chapitre traitant des misāḥa [mesure].

Extrait de la sourate al-nisā’ [Les femmes] : versets 11 et 12

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Fig. 9 - Versets 11 (fin) et 12, MAO 937 Fol. 14v, Musée du Louvre, Département des Arts de l’Islam

« Quant à vos enfants Dieu vous ordonne d’attribuer au garçon une part égale à celle de deux filles. Si les filles sont plus de deux, les deux tiers de l’héritage leur reviendront ; s’il n’y en a qu’une, la moitié lui appartiendra.

Si le défunt a laissé un fils, un sixième de l’héritage reviendra à ses père et mère. S’il n’a pas d’enfants et que ses parents héritent de lui : le tiers reviendra à sa mère. S’il a des frères : le sixième reviendra à sa mère, après que ses legs ou ses dettes auront été acquittés.

Vous ignorez si ce sont vos ascendants ou vos descendants qui vous sont les plus utiles.
Telle est l’obligation imposée par Dieu : Dieu est celui qui sait, il est juste. »

« Si vos épouses n’ont pas d’enfants, la moitié de ce qu’elles vous ont laissé vous revient. Si elles ont un enfant, le quart de ce qu’elles vous ont laissé vous revient, après que leurs legs ou leurs dettes auront été acquittés.

Si vous n’avez pas d’enfants, le quart de ce que vous avez laissé reviendra à vos épouses. Si vous avez un enfant, le huitième de ce que vous avez laissé leur appartient, après que vos legs ou vos dettes auront été acquittés.

Quand un homme ou une femme n’ayant ni parents, ni enfants laisse un héritage : s’il a un frère ou une soeur : le sixième en reviendra à chacun d’entre eux. S’ils sont plusieurs : ils se répartiront le tiers de l’héritage, après que ses legs ou ses dettes auront été acquittés, sans préjudice pour quiconque.

Tel est le commandement de Dieu. Dieu est celui qui sait et il est plein de mansuétude. »

(Masson, 1967, p. 93-94)

Nous allons ici présenter plusieurs exemples de partage de terres entre copropriétaires ou ayants droit en créant un chemin pour chacun d’eux. Ces exemples présentent des types différents de solutions.

Le premier est un problème de la dernière partie « Sur la construction d’une voie » (Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.127-132) du neuvième chapitre traitant des divisions des quadrilatères du livre de géométrie écrit par Abū al-Wafā’ déjà rencontré. Le problème est résolu par une construction géométrique basée sur un style euclidien typique des Éléments. Aucune preuve n’est donnée pour justifier l’exactitude de la construction [16].

Le second exemple est extrait du livre d’Ibn Ṭāhir al-Baghdādī (m. 1037), un mathématicien du XIe siècle, intitulé Takmila fī l-ḥisāb [L’achèvement de l’arithmétique] (Ibn Ṭāhir al-Baghdādī, 1985). La résolution donnée par le mathématicien de Bagdad est algorithmique. En effet, il a établi un algorithme général afin de l’utiliser dans des cas particuliers où il est nécessaire, par exemple, de partager un champ rectangulaire entre trois frères avec un accès pour les différentes parties.

Le troisième et dernier exemple peut être lu dans le Kāfi fī l-ḥisāb [Le suffisant en arithmétique] d’al-Karajī (m. 1023) (al-Karajī, 1986). Cet exemple est intéressant pour deux raisons principales. Tout d’abord, comme l’exemple précédent, ce dernier semble aussi dicté par la loi islamique, suivant par exemple, les versets de la sourate al-nisā’ [Les femmes] (voir encadré précédent). Cela conduit ici à un étrange problème mathématique avec un partage entre la moitié, le tiers et le quart ($\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}>1$) ! Ce n’est pas un cas isolé dans les calculs d’héritage (Laabid, 2006, p. 41). La solution mathématique tient compte de cette situation et les bénéficiaires doivent accepter une part inférieure à celle donnée par la loi islamique, mais en respectant les ratios. Deuxièmement, c’est l’occasion pour le mathématicien persan d’utiliser les objets et les opérations caractéristiques de l’algèbre arabe.

Abū al-Wafā’ : le problème de l’aménagement d’un chemin

Et si quelqu’un dit : Comment bissecter un carré ABDG et établir un chemin de largeur DH. Nous prolongeons GA jusque M et nous construisons AM égal à GH. Nous prolongeons AB jusque L et nous traçons le cercle de centre G et de rayon GM. Le cercle coupe la ligne BA au point L. Nous traçons LG. Nous coupons LK de LG égal à GH. Nous traçons la ligne KETR parallèle à la ligne BAL. Nous traçons HT parallèle à DB. La surface HE est alors égale à la surface EB. Et ceci est la figure pour cela (trad. de l’auteur à partir de Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.131-132).

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Fig. 10

Ibn Ṭāhir al-Baghdādī

Le problème proposé par Ibn Ṭāhir al-Baghdādī dans son Kitāb fī l-misāḥa [Livre sur le mesurage] est :

Et si nous voulons aménager un chemin dans un terrain à angles droits, ou bien à côtés égaux, ou inégaux, selon sa longueur ou sa largeur, et que le terrain soit [partagé] entre trois personnes ou quatre personnes, ou cinq personnes, ou quel que soit [leur nombre], la méthode pour cela est que nous multiplions le côté sur lequel nous voulons aménager la largeur de la route par le nombre de parts par lequel le terrain est divisé, par exemple les parts des fils, des filles, des deux parents et de l’époux. On en retranche la largeur de la route, et le reste est le diviseur. Puis, nous multiplions l’aire [du terrain] par le nombre d’héritiers, moins la part de celui qui avait en charge la route. Le résultat de la division est la longueur de la route.

Et lorsqu’on connaît la longueur et la largeur de la route, le reste du terrain peut-être partagé entre eux selon les [règles de] répartition de Dieu le tout-puissant.

Exemple de cela : un terrain [de] vingt sur trente que nous voulons diviser entre trois frères en y aménageant, entre eux, un chemin de largeur deux coudées mais en aménageant le chemin à partir de trente. Nous avons besoin de savoir combien doit être sa longueur. Nous multiplions trente par trois, et il [en] résulte quatre-vingt dix. Nous en retranchons la largeur du chemin, et c’est deux coudées. Il reste quatre-vingt huit. Ceci est le diviseur que nous conservons. Puis, nous multiplions l’aire par deux, et c’est le nombre de fils moins un, ce sera mille deux cents. Il est nécessaire de le multiplier par deux parce que le chemin sert pour le passage de deux personnes. Nous divisons mille deux cents par quatre-vingt huit. Le résultat de la division est la longueur du chemin. Et voici sa figure (trad. de l’auteur à partir de Ibn Ṭāhir al-Baghdādī, 1985, p. 372-373).

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Fig. 11

Analyse mathématique

Ibn Ṭāhir al-Baghdādī propose ainsi une procédure arithmétique qui permet de calculer la longueur $L$ du chemin. Elle peut se traduire mathématiquement (avec les notations actuelles) comme suit avec : $N$ = Nombres d’héritiers, $A$ = Aire du terrain, $s$ = largeur ou longueur du terrain, $l$ = largeur du chemin.

$s \times N$

$ s \times N - l$

$ A \times (N-l)$

$ L= \frac{A \times (N-l)}{s \times N - l}$

Il poursuit avec d’autres exemples de partage en fonction des contraintes et des parts revenant à chacun [17].

Et si le partage était entre deux fils et une fille, le partage sera sur cinq parts.

Et si le partage était entre deux filles et un fils, le partage sera sur quatre parts.

Et tout ce qui te parvient de ce chapitre [se résout] selon cette méthode et ce sera sa solution.

Et voici sa figure.

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Fig. 12
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Fig. 13

La longueur de la figure est trente, sa largeur est vingt, la longueur du chemin est treize et sept onzièmes de coudées, la largeur du chemin est deux coudées, l’aire du chemin est vingt-sept et trois onzièmes et l’aire de tout le terrain est six cents. Si l’aire du chemin est retirée, il reste cinq cent soixante-douze et huit onzièmes de coudées.

La vérification de sa [validité consiste] à mesurer la part de celui qui est en dessous [et à voir] si elle est égale à la part de chacun d’eux. Si l’aire de [la part de] celui qui est en dessous est égale à la part de chacune d’eux, nous saurons que le [résultat] est exact. Si elle [en] diffère, ce sera le contraire (trad. de l’auteur à partir de Ibn Ṭāhir al-Baghdādī, 1985, p. 372-373).

al-Karajī

Si on te dit, tu as un quadrilatère de longueur 20 bāb [18] et de largeur 10 bāb, divise-le entre trois personnes : la moitié pour l’un d’eux, le tiers pour un autre et le quart pour un autre de sorte qu’il y ait, en son centre, une route de largeur 2 bāb à laquelle aboutissent, par la longueur, les entrées des trois quote-parts, l’une par le devant, l’autre par la droite et l’autre par la gauche, de sorte que la quote-part du propriétaire du tiers soit à l’avant, selon cette figure.

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Fig. 14

La procédure pour cela est que l’on pose la longueur de la route comme la chose. Et tu la multiplies par la largeur de la route, et ça donne deux choses et ceci est la surface de la route. Et tu poses le dix-huit qui reste, [à diviser] en deux parties entre les propriétaires de la moitié et du quart parce que ceux-ci vont prendre leurs parts à partir de la droite de la route et de sa gauche. Une des deux parts est 12. Ceci est la largeur de la part du propriétaire de la moitié. Et le six qui reste est la largeur de la part du propriétaire du quart. Et la longueur de chacun est la longueur de la route, et c’est la chose. La surface de la part du propriétaire de la moitié est douze choses. La surface de la part du propriétaire du quart est six choses. Et à partir de cette règle-là, il faut que la surface de la part du propriétaire du tiers soit huit choses. Et la surface de la route est deux choses, et le mesurage total de cette surface est vingt-huit choses. Et ceci est égal à deux cents. Et la chose seule égale sept bāb et un septième d’un bāb. Et ceci est la longueur de la route. Et il reste la largeur de la part du propriétaire du tiers à partir de la largeur totale de dix bāb : deux bāb et six-septièmes d’un bāb (trad. par l’auteur à partir de al-Karajī, 1986, p. 202-204).

Analyse mathématique

Note : L’expression des rapports « 12:6::2:1 » se lit « 12 est à 6 ce que 2 est à 1 ». Elle peut être mathématiquement traduite par l’égalité : $\frac{12}{6}$=$\frac{2}{1}$.

Conclusion

La division des figures planes est une pratique géométrique intéressante pour illustrer le développement scientifique dans les pays d’Islam [19]. Entre pratiques issues de la tradition locale avec des compétences traditionnelles, besoins de la vie quotidienne et appropriation du savoir théorique, les problèmes de division donnent à voir une certaine quête de rationalité avec, notamment, l’utilisation de nouvelles disciplines.

En outre, si l’on reprend l’idée défendue par Abū al-Wafā’, se confrontent ici, pour un même problème, les bonnes méthodes des savants, à savoir des méthodes exactes, avec les méthodes efficientes des praticiens qui peuvent être approchées, voire fausses. Nous fournissons alors avec cette étude sur la division des figures planes une des exceptions — si peu nombreuses — mentionnées par Necipoğlu :

À quelques exceptions près, cependant, les historiens de l’art et de la science islamiques ont eu tendance à ne pas envisager la possibilité que les géomètres-astronomes, les artisans-concepteurs et les maîtres d’œuvre-architectes puissent communiquer utilement entre eux ou apprendre les uns des autres en s’engageant dans des activités épistémiques interconnectées (trad. de l’auteur à partir de Necipoğlu, 2017, p.12, souligné par l’auteur).

Ce rapport entre praticiens et savants, entre pratiques et savoirs est une problématique qui concerne l’histoire des mathématiques sur toutes les périodes et les questions historiographiques sont aujourd’hui très riches [20].

Même si les scientifiques et les artisans de l’Europe latine ont des besoins culturels et religieux différents de ceux de leurs homologues des pays d’Islam, les problèmes de division des figures planes font partie des nombreuses pratiques et connaissances que les savants latins s’approprient dès le XIIe siècle (Moyon, 2013). Nous avons mentionné la traduction arabo-latine du texte de Muḥammad al-Baghdādī. Nous pouvons également évoquer le Liber Embadorum de Platon de Tivoli, version latine du Hibbur ha-Mesihah we-ha-Tisboret du savant hébreu Abraham Bar Ḥiyya (XIIe siècle). Ces ouvrages consacrent tous deux un chapitre entier à ce sujet, dont l’étude met en évidence une double origine : savante, mais aussi pratique avec un partage entre bénéficiaires. Enfin, c’est aussi le cas de la quatrième distinction de la célèbre Practica geometriae écrite par Fibonacci au XIIIe siècle qui influencera les traités de géométrie pratique ultérieurs, jusqu’aux manuels de géométrie ou d’arithmétique du XIXe siècle. Ces problèmes nourriront encore nombre de récréations mathématiques chez Lucas ou chez Fourrey, par exemple (Moyon, 2009).

Références

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Post-scriptum :

Ce texte est une version développée de (Moyon, 2011b). La bibliographie a aussi été mise à jour.

L’auteur remercie d’abord Jenny Boucard et Norbert Verdier pour leur commentaire qui ont permis d’améliorer le présent article, puis Emmanuel Lacroix & Pauline Bourdiau, étudiants de master 2 à l’université Paris-Saclay ainsi que Colette Le Lay pour leur relecture attentive.

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs David-Yann Vincent, Jean Delcourt, Karim S et Angela Gammella-Mathieu pour leurs commentaires constructifs et leurs propositions qui ont permis d’améliorer la qualité de cet article.

Article édité par Jenny Boucard et Norbert Verdier.

Notes

[1En raison d’un abus de langage, la science dans les pays d’Islam est parfois appelée « science arabe ». Le terme « arabe » doit être compris dans le sens de la langue utilisée pour écrire et enseigner la science. Il ne fait pas référence à des origines géographiques, culturelles ou religieuses. Voir, par exemple, (Djebbar, 2018c).

[2Le terme « calife » signifie littéralement « successeur » [de Muḥammad] : il règne sur un califat comme chef des musulmans, il peut aussi porter le nom de « commandeurs des croyants ».

[3Pour des exemples de pratiques cultuelles ou juridiques, voir (Djebbar, 2018a ; Djebbar, 2018b).

[4La translittération phonétique, de l’arabe au latin, d’al-Khwārizmī est alchoarismi ou plus simplement algorismi, qui est l’origine du terme algorithme.

[5Le terme algèbre est issu de la translittération latine algebra ou gebla du terme arabe al-jabr. Ce terme est transmis par les traductions arabo-latines du Mukhtaṣar d’al-Khwārizmī dès le XIIe siècle. Voir, par exemple, (Moyon, 2021).

[6C’est le nom de ce mathématicien que les programmes français d’enseignement des mathématiques retiennent pour la loi des cosinus, qui généralise le théorème de Pythagore.

[7Un mihrāb est une alcôve dans la mosquée indiquant la direction de la prière.

[8Voir, plus généralement, (Necipoğlu 1995) avec le travail spécifique sur les muqarnaṣ de Mohammad al-Asad (p.349-359).

[9L’article de Daniel Perin récemment republié est mathématiquement instructif sur cette même question : https://images.math.cnrs.fr/Aires-e....

[10Ici, les problèmes d’inscription (ou de circonscription) et de découpage de figures nécessaires à la mesure (comme la triangulation, par exemple) ne sont pas pris en compte alors qu’ils sont très importants dans leurs aspects culturels (ornementation et arpentage, par exemple).

[11Voir, par exemple, les aspects terminologiques, historiques et juridiques des pratiques de découpage dans (Djebbar, 2016, p. 114-116).

[12Plus généralement, sur la question de l’écart entre ouvrages mathématiques « savants » et pratiques artisanales, voir (Morel, 2020).

[13Nous faisons ici référence au traité Sur les Divisions [des figures] perdu en grec que Proclus de Lycie mentionne explicitement dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments d’Euclide. Voir, en particulier, (Moyon, 2017, p.43-45).

[14Abū al-Wafā’ n’a pas oublié les problèmes réglés et résolus d’une manière plus savante dans le chapitre huit pour les triangles et le neuvième pour les quadrilatères. (Abū al-Wafā’ al-Būzjānī, 1979, p.103-127).

[15Al-Khwārizmī consacre une partie substantielle de son Mukhtaṣar à la résolution de problème d’héritage ; (Rashed, 2007, p.232-291). Pour plus de détails sur ce sujet, voir (Laabid, 2006).

[16Dans cette section, Abū al-Wafā’ expose cinq problèmes (deux dans un carré, deux dans un triangle, un dans un trapèze). Notons que les trois dernières constructions sont erronées.

[17Ici, en suivant le raisonnement d’Ibn Ṭāhir, il faut bien faire la différence entre le nombre d’héritiers et le nombre de quotes-parts.

[18le bāb est une ancienne unité de mesure en Orient musulman.

[19L’Occident musulman n’a pas été traité dans cet article. Voir, en particulier, (Djebbar, 2007, 2016 ; Moyon, 2016).

[20Voir, par exemple, les études rassemblées dans Les mathématiques professionnelles (XVIe-XIXe siècle), Cahiers François Viète, Série III - N° 13, 2022, et en particulier l’introduction de Thomas Morel et Thomas Préveraud https://journals.openedition.org/ca....

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