Matorrales y escobas

La forma de los espacios analíticos p-ádicos

Pista roja El 8 junio 2013  - Escrito por  Daniele Turchetti
El 22 octubre 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Buissons et balais Ver los comentarios
Leer el artículo en  

En las ciencias, el hombre modela la realidad geométrica con ayuda de la noción de espacio y de sus propiedades. Esta reconstrucción formal de una noción tan intuitiva ha permitido millares de aplicaciones: desde los cálculos astronómicos de los antiguos griegos a la programación actual de los movimientos de los robots.
En matemáticas, los diferentes objetos geométricos conducen a cálculos de diferente naturaleza: espacios topológicos, variedades diferenciables, variedades algebraicas, espacios analíticos. Uno de los recientes desafíos de la investigación es descubrir herramientas para tratar ciertos espacios especiales, que se llaman ’’p-ádicos’’. Hacia fines de los años 80, el matemático ruso Vladimir Berkovich propuso una clase de espacios que pueden ser estudiados en profundidad desde varios puntos de vista. Esos espacios son lindos para ver y contienen una insólita geometría.

¿Conoce usted ese juego de ’’unir los puntos’’ donde, a partir de ciertos puntos enumerados sobre una hoja, se dibuja una figura? Uno toma un lápiz y traza segmentos que tienen por extremos dos puntos sucesivos: del punto 1 al punto 2, del punto 2 al punto 3 y así sucesivamente. Al principio uno solo ve puntos ubicados de manera desordenada y solamente puede tratar de adivinar la figura que se esconde debajo. Poco a poco, al dibujar los segmentos, uno descubre lo que se trata de representar y finalmente el enigma se revela cuando uno llega al último número.
En topología se llaman totalmente discontinuos a los conjuntos como ese de los juegos con puntos antes de comenzar (cuando el conjunto está constituido por puntos aislados unos de otros), y conexos por arcos a los conjuntos que contienen -para cada pareja de puntos- un camino que parte del primero y llega al segundo. Podemos decir entonces que nuestro juego consiste en tomar un espacio totalmente discontinuo y transformarlo en un espacio conexo por arcos siguiendo una regla muy precisa: la enumeración de puntos. Esta idea está en la base de una de las teorías más fructíferas que han sido recientemente formuladas: los espacios de Berkovich [1]. La forma de esos espacios ha sido asimilada a una escoba en otro artículo de este sitio. Y uno ve bien que una escoba es conexa por arcos.

Las distancias que separan a los números

¿Cuáles puntos uno quiere unir para obtener un espacio de Berkovich? Para comprender la idea de la construcción, primero hay que dar un conjunto totalmente discontinuo como partida. Para describir este conjunto hay que utilizar la idea de distancia, que está ligada clásicamente a aquella de valor de absoluto. Por definición, una distancia sobre un conjunto $K$ es una aplicación que a cada pareja de elementos $x$ e $y$ en $K$, asocia un número (real) positivo $d(x,y)$, tal que:

  • $d(x,x)=0$ y si $d(x,y)=0$ entonces $x=y$,
  • $d(x,y)=d(y,x)$ para cada pareja de elementos $x$ e $y$ en $K$,
  • $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ para cada triplete de elementos $x$, $y$ y $z$ en $K$.

Tratemos de comprender con ejemplos qué es lo que se esconde detrás la tecnicidad de esta definición. Se puede considerar la distancia que, para cada pareja de números racionales $x$ e $y$ es tal que $d(x,y)=|y-x|$, es decir $d(x,y)=x-y$ si $x\geq y$ y $d(x,y)=y-x$ si $y\geq x$. Lo que resulta siempre es un número no negativo, y las propiedades mencionadas son respetadas: $d(3,3)=3-3=0$, $d(2,1)=2-1=1$, $d(1,2)=2-1=1$, $d(-1, 1)=2$, $d(-1,0)+d(0,1)=1+1=2$ pero $d(-1,2)+d(2,1)=3+1=4>2$ y así sucesivamente. Para visualizar esta distancia imaginemos una recta donde están posicionados todos los números racionales: la distancia entre dos números racionales $x$ e $y$ en el ejemplo corresponde a la longitud del segmento de extremos $x$ e $y$.

La distancia 3-ádica

Con un poco de fantasía (cualidad de la cual los matemáticos no están desprovistos) se puede imaginar una distribución diferente de los números racionales en el espacio. Por ejemplo, se puede disponer 0, 1 y 2 en un triángulo equilátero (de lado 1) como está ilustrado en la figura:

luego se corta ese triángulo en triángulos equiláteros tres veces más pequeños, en los extremos de los cuales uno coloca los números que siguen: 3, 4, 5, 6, 7, 8

y así uno puede continuar recortando el triángulo y colocando según ese criterio todos los otros números enteros positivos.

Se destaca en el dibujo que los números divisibles por 3 se encuentran todos arriba; aquellos cuya división por 3 da un resto igual a 1, abajo a la izquierda; y aquellos cuya división da como resto 2, abajo a la derecha. Además, los números divisibles por $3^2$ se sitúan en el pequeño triángulo de números divisibles por 3 y así sucesivamente. En otras palabras, uno está disponiendo los enteros según sus propiedades aritméticas en relación a las potencias de 3.
Ahora bien, para cada pareja de racionales $x$ e $y$, consideremos el triángulo más pequeño que contiene a la vez $x$ e $y$. Si se asocia a $x$ la longitud de una arista de ese triángulo, entonces uno tiene una distancia, que se escribe $d_3(x,y)$. Por ejemplo:

  • $d_3(1,0)=1$
  • $d_3(4,1)=\frac{1}{3}$
  • $d_3(18,0)=\frac{1}{9}$
  • $d_3(20,1)=1$

Así, ¿está 18 más cerca de cero que 1? ¡Sí! En ese sistema, los números sucesivos en la enumeración no están forzosamente más cerca de aquéllos que les siguen.

Generalización

En lugar del triángulo, se puede comenzar con un cuadrado, un pentágono, un hexágono y hacer el mismo juego: uno obtendrá otra distancia. En general, el proceso avanza con cualquier polígono regular de $n$ lados. La distancia obtenida así se escribe $d_n$ y es llamada distancia n-ádica. Esto puede extenderse a todo número racional (pero para eso habrá que volver a añadir polígonos más grandes).

He aquí una propiedad exótica de la distancia n-ádica: ’’cada punto de una bola está en el centro’’. ¿Qué quiere decir esto? Se llama bolas a los conjuntos de la forma \[B(c, r)=\{x:d_n(x, c)\leq r\};\] se dice que $c$ es el centro y que $r$ es el radio.
En el caso de la distancia 3-ádica, $B(c, r)$ es el triángulo con la esquina negra que contiene a $c$, con aristas de longitud $r$. Por ejemplo, la bola 3-ádica de centro 4 y radio 1/3 contiene, entre otros, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 y 25 (triángulo de abajo a la izquierda). Los elementos de esta lista que están también en la bola 3-ádica de centro 7 y radio 1/9 son 4, 13 y 22 (pequeño triángulo de abajo a la izquierda).
Uno se da cuenta de que, si se toma cualquier punto $d$ en $B(c,r)$ y se observa $B(d, r)$, se trata del triángulo con esquina negra que contiene $d$ con aristas de longitud $r$. Pero es entonces el mismo que aquel que contiene $c$, ya que $d$ está también adentro. En fórmulas, escribimos \[B(c, r)=B(d, r) \mbox{ para todo } d\in B(c,r),\]
y en palabras decimos ’’cada punto de una bola es el centro’’. Esta propiedad no es una simple curiosidad, y se revelará útil a continuación.

Enteros p-ádicos

Consideremos la distancia p-ádica, con p número primo. Añadiendo de nuevo un punto para cada pedazo infinitamente pequeño se obtiene un conjunto que contiene los enteros, pero también otros elementos [2]. Esto se llama conjunto de los enteros p-ádicos, y fue descubierto hacia el fin del siglo XIX por Hensel [3]. El conjunto de enteros p-ádicos se denota $\mathbb{Z}_p$. Estos números, ya mencionados aquí para $p=5$, juegan un papel muy importante en la aritmética, con aplicaciones en otros campos de las matemáticas, en física, biología e incluso las neurociencias [4].
Lo que hay que aceptar es que todo lo que se ha dicho funciona para cualquier número primo. Los triángulos son solamente una manera de visualizar fenómenos que se producen en muchas situaciones, matemáticas o no matemáticas.

¡Una los puntos!

Mirando el dibujo que representa los números 3-ádicos, uno se convence fácilmente de que se trata de un conjunto totalmente discontinuo: cada punto es un pedazo separado de otros, incluso si hay puntos infinitamente cercanos entre ellos (por el contrario, cuando uno posiciona los números sobre la recta se obtiene un pedazo único). ¿Cómo resolver este problema? Una idea es volver a añadir segmentos, pero es necesario hacerlo con un criterio que no quiebre la delicada geometría intrínseca de los números p-ádicos. La solución que fue propuesta por Vladimir Berkovich a fines de los años 1980 encontró el favor de una gran parte de la comunidad matemática. Su idea era, al mismo tiempo, simple y eficaz.
Él proponía volver a agregar al conjunto de números p-ádicos un punto por cada bola centrada en cada número p-ádico, es decir un punto para todo el conjunto \[B(x, r)=\{y\in \mathbb{Z}_p : d_p(x,y)\leq r\} \mbox{ para todo } 0\leq r\leq 1\mbox{ y } x\in \mathbb{Z}_p.\]
Ahora bien, miremos el ejemplo 3-ádico: un triángulo ’’dibujado’’ corresponde a una bola con $r=1/3^n$ para un cierto $n$, y por lo tanto en el espacio de Berkovich habrá un punto para cada uno de esos triángulos. Pero incluso si $r$ no tiene esta forma, el punto que corresponde a $B(c, r)$ es vuelto a añadir a pesar de todo. Además, un conjunto de puntos (o de bolas: para Berkovich es lo mismo) de la forma \[\{B(c, r) : \frac{1}{3^{n+1}}\leq r \leq \frac{1}{3^{n}} \}\]
está representado por un segmento continuo, de extremos $B(c, 1/3^{n+1})$ y $B(c, 1/3^n)$. Se tiene entonces, para cada pareja de triángulos, un segmento que los une en el espacio de Berkovich.

Tratemos de comprender cómo esta construcción puede producir un espacio conexo por arcos: fijemos dos puntos $P_1$ y $P_2$, y veamos cómo construir un camino que los una.
Sea $\rho= d_3(P_1-P_2)$. Esto quiere decir que el más pequeño triángulo que contiene $P_1$ y $P_2$ tiene aristas de longitud $\rho$. Hay un punto que representa ese triángulo, correspondiente al conjunto $B(P_1, \rho)$. Pero también hay un segmento contenido en el espacio de Berkovich que tiene como extremos $P_1$ y $B(P_1, \rho)$. Es el conjunto de todos los puntos de la forma $B(P_1, r)$ con $0\leq r \leq \rho$. De la misma manera, existe un segmento uniendo $B(P_2, \rho)$ con $P_2$. Aparentemente esos dos segmentos no tienen unión, pero aquí está la magia: se dice que para la distancia p-ádica todo punto de la bola es el centro, por lo tanto $B(P_2, \rho)$ es el mismo punto que $B(P_1, \rho)$: se encuentra un camino que une a ambos.

Esto puede hacerse para cada pareja de puntos. El espacio de Berkovich es un muy lindo espacio conexo por arcos que se parece, en nuestro ejemplo, a un matorral o a las raíces de un árbol. En otras situaciones, se asemeja más bien a una escoba.

Aplicaciones

La conexidad por arcos no es la única característica que permite aplicaciones de los espacios de Berkovich a otras matemáticas, pero sin duda es un elemento importante.

Por ejemplo, gracias a esto es que Berkovich ha desarrollado sobre sus espacios una teoría de la integración de formas diferenciales a lo largo de caminos, análogo a la usual.

Más generalmente, estos espacios han permitido la introducción de muchos objetos análogos a aquellos de la geometría compleja. Ejemplos de avatares cuyas realizaciones p-ádicas viven en los espacios de Berkovich son las funciones armónicas, las funciones lisas, las medidas, de las cuales la definición ha permitido mostrar teoremas de equidistribución sobre las variedades p-ádicas (análogas a las presentadas aquí), en especial gracias a los trabajos de Chambert-Loir y Thuillier. A partir de una función racional $f$ y de un punto $P$ sobre una variedad, esos teoremas permiten determinar la convergencia de las medidas de probabilidad asociadas a las órbitas de $P$ ( [5]).
Citemos finalmente los lazos con la geometría tropical. Si uno considera una curva algebraica p-ádica, uno puede ver una tropicalización, que es un grafo que está asociado a ella (vea por ejemplo esta presentación). Existe también una forma para asociar a la misma variedad un espacio de Berkovich, llamada su analificación, que se parece topológicamente a la tropicalización. Por ejemplo, las dos tienen el mismo tipo de homotopía, como se ve en las imágenes para el caso de una curva elíptica de ecuación de Weierstrass $y^2= x^3+ x^2 + t^4$. A la izquierda está representada una de sus tropicalizaciones, y a la derecha su analificación.

La riqueza intrínseca de los espacios de Berkovich se mezcla así con aquella proveniente de otras estructuras matemáticas. Este mestizaje de teorías se reveló muy fecundo, en el sentido que ha permitido probar muchas conjeturas difíciles y abiertas desde hace tiempo. Especialmente está la resolución de una conjetura de Deligne de los años ’70 acerca de los haces de ciclos evanescentes [6]
Más allá de la gran cantidad de nociones que habría que definir para dar los enunciados exactos, es interesante comentar que esas conjeturas han sido formuladas en un lenguaje distinto al de Berkovich. La teoría de Berkovich, guardando siempre su originalidad, encuentra su lugar en un contexto preexistente, el de los espacios totalmente discontinuos, y vuelve a añadir herramientas que permiten mostrar nuevos resultados [7].
Esto, gracias a la posibilidad de trabajar sobre puntos anteriormente ’’escondidos’’. Útiles y divertidos... ¿se podría imaginar mejores condiciones para un tema de investigación?

Post-scriptum :

Un gran agradecimiento a los relectores que me han ayudado enormemente a mejorar este artículo: François Brunault, Vincent Beck, Eric Heurtain, Jean-Romain, Jerôme Poineau y Romain Bondil. Les agradezco además por la gentileza de sus consejos.

Artículo original editado por Jérôme Buzzi

Notas

[1Una descripción de las circunstancias alrededor de este descubrimiento, hecha por el mismo Berkovich, está en un artículo publicado en las actas de la escuela de invierno «p-adic Geometry» que tuvo lugar en Tucson, Arizona en 2007. Patrick Popescu-Pampu habla de eso a los lectores de Images des Maths en este mensaje.

[2Si se considera un número compuesto la construcción no plantea problemas. Es por eso que se elige no hacerla sino con un número primo.

[3Algunos matemáticos hablan por eso de descubrimiento y no de invención: ¿dónde estaban escondidos esos números antes?

[4IEs necesario precisar que los trabajos en neurociencias son todavía muy recientes y muy especulativos para ser aplicados

[5Más exactamente, se ve que las medidas $\mu_{n,x}=\sum_{f^n(y)=x} \delta_y$, donde $\delta_y$ es la medida de Dirac de masa 1 sostenida en $y$. El teorema de Chambert-Loir muestra entonces que el límite de las $\mu_{n,x}$, para n que tiende hacia el infinito, es un punto del espacio de Berkovich que no depende de $x$.

[6Para una rendición de cuentas de los trabajos de Deligne, vea este artículo. Especialmente, algunos de sus resultados sobre la cohomología quieta han sido transportados a la teoría de Berkovich.

[7Vea el excelente vistazo escrito por Antoine Ducros o, para más detalles su exposición en el Séminaire Bourbaki.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Matorrales y escobas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.