Un desafío por semana

Mayo 2014, segundo desafío

El 9 mayo 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 10 mayo 2014
Artículo original : Mai 2014, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 19:

Los lados $AD$ y $BC$ de un rectángulo $ABCD$ miden $21\,cm$. $F$ y $E$ son puntos sobre los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, tales que $AB=AE$, $CE=CF$ y $FB=FE$. ¿Cuánto mide $AB$ ?

Solución del primer desafío de mayo

Enunciado

La respuesta es 120.

Se sabe que $8\otimes 5=5\otimes 8=5\otimes (5+3)$ y $\frac{5\otimes (5+3)}{5\otimes 3}=\frac{8}{3}$ . Ahora, $5\otimes 3=3\otimes 5=3\otimes (3+2)$, de modo que $\frac{3\otimes (3+2)}{3\otimes 2}=\frac{5}{2}$ . De manera análoga se tiene $3\otimes 2=2\otimes 3=2\otimes (2+1)$ , de donde $\frac{2\otimes (2+1)}{2\otimes 1}=\frac{3}{1}=3$ . Finalmente, $2\otimes 1=1\otimes 2=1\otimes (1+1)$ y $\frac{1\otimes (1+1)}{1\otimes 1}=\frac{2}{1}=2$ . En consecuencia, se obtiene

$\frac{8\otimes 5}{5\otimes 3} = \frac{8}{3},$

$\frac{5\otimes 3}{3\otimes 2} = \frac{5}{2},$

$\frac{3\otimes 2}{2\otimes 1} = 3,$

$\frac{2\otimes 1}{1\otimes 1} = 2.$

Esto da

$8\otimes 5 = \frac{8}{3}\times (5\otimes 3)=\frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times (3\otimes 2)$

$= \frac{8}{3}\times \frac{5}{2}\times 3\times (2\otimes1)$

$= \frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times3\times2\times (1\otimes 1).$

Por lo tanto, $8\otimes 5=40\times (1\otimes 1)$. Como $1\otimes 1=1+2=3$, finalmente se obtiene $8\otimes 5 = 40\times 3 = 120$ .

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’La esfera cornuda de Alexander’’, por Jos Leys

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