Un desafío por semana

Mayo 2016, tercer desafío

El 20 mayo 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 20 mayo 2016
Artículo original : Mai 2016, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 21:

Escogemos $8$ puntos en una circunferencia. Luego trazamos las cuerdas que conectan cada par de puntos (suponemos que ningún trío de cuerdas se cortan en el mismo punto). ¿Cuántos triángulos se forman al interior de la circunferencia?

Solución del segundo desafío de mayo:

Enunciado

La respuesta es $(2,2,29)$, $(13,3,13)$, $(11,5,11)$.

Despejando $q r$, obtenemos

$q r=p q r-15p-7pq=p(q r-15-7q).$

Luego $q r$ es divisible por $p$. Como $p$, $q$ y $r$ son primos, hay dos posibilidades: $p=q$ o $p=r$.

  • Si $p=q$ tenemos $15+7q+r=qr$, lo cual podemos reescribir como

$22=qr-7q-r+7=(q-1)(r-7).$

Como $22$ es un número par y no es un múltiplo de $4$, deducimos que uno de sus factores es impar, por lo que alguno de los primos $q$ y $r$ tiene que ser par. La única posibilidad es que $q=2$, lo cual nos da $r=29$.

  • Si $p=r$, podemos dividir los dos miembros de la expresión inicial por $r$. Obtenemos $15+8q=qr$, luego $15=q(r-8).$ El entero $q$ es entonces un primo que divide a $15$, es decir $3$ o $5$.

Si $q=3$, entonces $r=13$ ; si $q=5$, entonces $r=11$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2016, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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