Enunciado

La respuesta es $x=72$.

Escribamos al entero como $x=2^a3^bm$, con $m$ primo relativo de $2$ y $3$. Como $2x=2^{a+1}3^bm$ es un cuadrado, los enteros $a+1$ y $b$ son pares y $m$ es un cuadrado. Como $3x=2^{a}3^{b+1}m$ es un cubo, los enteros $a$ y $b+1$ son múltiplos de $3$ y $m$ es un cubo. El menor entero positivo $a$ que cumple ser múltiplo de $3$ y que $a+1$ sea par es el número $3$.
Del mismo modo, el menor entero par $b$ que cumple que $b+1$ sea múltiplo de $3$ es el número $2$. Finalmente, el menor $m$ que sea, a la vez, un cuadrado y un cubo es el número $1$. Por lo tanto, el menor valor de $x$ es $2^3\times 3^2\times 1=72$.