Un desafío por semana

Mayo 2018, cuarto desafío

El 25 mayo 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 25 mayo 2018
Artículo original : Mai 2018, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 21:

Tres números enteros $a,b,c$ verifican las siguientes condiciones
\[ \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2 & = &210\\ a+b+c & = &24\\ abc & = & 440. \end{eqnarray*} \]
¿Cuáles son los valores posibles de $a^3+b^3+c^3$?

Solución del tercer desafío de mayo:

Enunciado

La respuesta es: No es posible.

El área de un círculo es $\pi$ y su perímetro es $2\pi$. Luego, si $a$ y $b$ son los lados del rectángulo, queremos encontrar un rectángulo que tiene un área de $ab=\pi$ y un perímetro de $2(a+b)=2\pi$. Despejamos $a$ en la segunda ecuación para obtener $a=\pi-b$, y reemplazando en la primera, obtenemos $(\pi-b)b=\pi$, es decir $b^2-\pi b+\pi=0$. Al resolver esta ecuación de segundo grado, tenemos
\[ b=\frac{\pi \pm\sqrt{\pi^2-4\pi}}{2}, \]
la cual tiene una solución si $\pi^2-4\pi\geq 0$. Pero $\pi^2-4\pi=\pi(\pi-4)<0$, y, por lo tanto, no es posible encontrar un rectángulo con las características pedidas.

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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