Un desafío por semana

Mayo 2019, cuarto desafío

El 24 mayo 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 24 mayo 2019
Artículo original : Mai 2019, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 21

¿Cuántos enteros entre $1$ y $1000$ no pueden ser expresados como la diferencia de dos cuadrados de enteros?

Solución del tercer desafío de mayo:

Enunciado

La solución es $15$ cm$^{2}$.

La parte no compartida por los dos rectángulos está formada por $4$ triángulos rectángulos congruentes de hipotenusa $x$ y cuyos otros lados miden $3$ y $9-x$.

PNG - 17.5 KB

Por el teorema de Pitágoras:
\[ \begin{eqnarray*} x^{2} & = & (9-x)^{2}+3^{2}\\ x^{2} & = & 90-18x+x^2\\ x & = & 5\, \mbox{cm}. \end{eqnarray*} \]

La región común es un paralelógramo de base 5 cm y altura 3 cm, por tanto su área es igual a $5\times 3=15$ cm$^{2}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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