Un desafío por semana

Mayo 2020, cuarto desafío

Le 22 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 mai 2020
Article original : Mai 2020, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 21

En el plano cartesiano dibujamos todas la rectas que pasan por el punto $(0,0)$ y todos aquellos puntos $(x,y)$ con coordenadas enteras tales que $1\leq x, y\leq 10$.

¿Cuántas rectas distintas podemos dibujar ? Por ejemplo, la recta que pasa por $(1,2)$ es la misma que la que pasa por $(2,4)$.

Solución del tercer desafío de mayo :

Enunciado

Primeramente, consideremos los cuadritos de las esquinas del cuadrado original. Hay $2^4 = 16$ coloraciones iniciales distintas de ellos, todas equiprobables. Analicemos las cuatro situaciones posibles que siguen :

  • Todas la esquinas son negras. Entonces habría una sola coloración inicial, a saber $NNNN$, y luego de la operación todas las esquinas se quedarían iguales.
  • Una esquina es blanca. Habría pues cuatro coloraciones iniciales posibles de las esquinas, $BNNN$, $NBNN$, $NNBN$ y $NNNB$. Después de la operación, las cuatro esquinas serían negras porque la única blanca se encontraría forzosamente en el lugar previamente ocupado por una negra, y la repintaríamos entonces de negro.
  • Dos de las esquinas son blancas. Habría entonces seis posibilidades de coloración inicial de las esquinas. En los casos $NBNB$ y $BNBN$, todas las esquinas se vuelven negras luego de la operación, y en los casos $BBNN$, $NNBB$, $NBBN$ y $BNNB$, uno de los cuadritos se queda de blanco.
  • Tres de las esquinas son blancas. Entonces hay cuatro coloraciones iniciales posibles de las esquinas, y luego de la operación, dos de ellas se quedan de blanco.
  • Todas las esquinas son blancas. Una sola posibilidad inicial entonces, y evidentemente que en este caso todas las esquinas se quedan de blanco.

Al final de las cuentas, de las $16$ coloraciones iniciales posibles, todas las esquinas se vuelven negras en siete casos, lo cual nos da una probabilidad de $\tfrac{7}{16}$. Por los mismos argumentos, los otros cuatro cuadritos del borde del cuadrado original se vuelven negros con probabilidad de $\tfrac{7}{16}$. En cuanto al cuadrito central, este no se mueve luego de la rotación, así que será negro después de la operación siempre y cuando de entrada lo haya sido, es decir, con probabilidad $\tfrac{1}{2}$. En total, la probabilidad de que el cuadrado entero se vuelva negro es de $\tfrac{1}{2}\times (\tfrac{7}{16})^2 = \tfrac{49}{512}$.

La solución es $\dfrac{49}{512}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2020, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

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