Un desafío por semana

Mayo 2020, tercer desafío

El 15 mayo 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 15 mayo 2020
Artículo original : Mai 2020, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 20

Un cuadrado es dividido en nueve cuadritos iguales, y a cada uno de ellos lo pintamos de negro o de blanco con la misma probabilidad. Enseguida le damos una vuelta de $90^\circ$ al cuadrado grande alrededor de su centro y cada cuadrito que se encuentre en el lugar de un cuadrito negro antes de la rotación lo repintamos de negro también. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuadrado original quede pintado todo de negro al final de esta operación?

Solución del segundo desafío de mayo:

Enunciado

Para todo par de números $a$ y $b$ tenemos la igualdad $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Ahora bien, por hipótesis $a^3 + b^3 = 2ab (a + b)$, y puesto que $a + b\neq 0$, deducimos que $a^2 - ab + b^2 = 2ab$, de donde $a^2 + b^2 = 3ab$. Dividiendo todo por $ab$, obtenemos que $a/b + b/a = 3$, y elevando al cuadrado, que $(a/b)^2 + 2 + (b/a)^2 = 9$.

Por lo tanto, la solución es $\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} = 7$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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