Un desafío por semana

Mayo 2021, primer desafío

Le 7 mai 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 7 mai 2021
Article original : Mai 2021, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 18

Caminando a lo largo de una calle, Paulina pasa delante de cuatro casas, todas de colores diferentes : pasa frente a la anaranjada antes de la roja, y frente a la azul antes de la amarilla. La casa azul no colinda con la amarilla. ¿De cuántas maneras distintas pueden estar dispuestas las casas ?

Solución del quinto desafío de abril.

Enunciado

Vamos a demostrar que $m = n^5 - 5n^3 + 4n$ siempre es divisible por $120$.

Como $120 = 2^3\times 3\times 5 = 8\times 3\times 5$, y ya que $8, 3$ y $5$ son primos relativos a pares, basta con mostrar que $m$ es múltiplo de $8, 3$ y $5$.

Además :
\[ \begin{align*} n^5 - 5n^3 + 4n &= n(n^4 - 5n^2 + 4)\\ &= n(n^2 - 4)(n^2 - 1)\\ &= (n - 2)(n - 1)\, n\, (n + 1)(n + 2). \end{align*} \]

El número $m$ es entonces producto de cinco enteros consecutivos y es divisible por $3$ y por $5$. En efecto, entre cinco enteros consecutivos necesariamente hay un múltiplo de $3$ y otro de $5$, así como al menos un múltiplo de $4$ y dos de $2$. Así, de entre los cinco uno es múltiplo de $2$ y otro de $4$, de donde el producto es múltiplo de $8$.

Finalmente, para todo valor de entero de $n$, el número $m = n^5 - 5n^3 + 4n$ es divisible por $120$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2021, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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