Un deafío por semana

Mayo 2022, cuarto desafío

Le 27 mai 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 28 mai 2022
Article original : Mai 2022, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del calendario matemático cada día viernes y su solución la semana siguiente.

Semaine 21

Entre los enteros $x$ tales que $1 \leq x \leq 100$, ¿cuántos hay tales que $x$ divide a $(x+20)(x+5)$ ?

Solución del tercer desafío de mayo 2022 :

Enunciado

Respuesta : $700$.

Cualquiera sea la repartición escogida, se tiene $a+b+c+d+e = 3+5+9+11+25 = 53$, y la cantidad a maximizar es $(a+b+c+d)e = (53-e)e$.

Si conoces esta noción, reconocerás un polinomio de segundo grado con coeficiente dominante negativo y cuyas raíces son $e = 0$ y $e = 53$. Se déçue entonces que la cantidad es más grandes mientras $e$ se aproxima a la media $\frac{0 + 53}2 = 26{,}5$. En nuestro caso, ella es maximal para $e = 25$.

Si no, no es muy difícil calcular los cinco valores posibles en función de $e$, y luego constatare la más grande es $(53 - 25) \times 25 = 700$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022. Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2022, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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