Par exemple, ajouter mon poids et ma taille donnerait un résultat qui n’aurait aucun sens. Pourquoi ? Tout simplement parce que pour exprimer mon poids et ma taille par un nombre, il faut que j’utilise des unités de mesure, par exemple les kilogrammes et les centimètres, et si j’en utilisais d’autres, par exemple la livre et le pied (si j’étais anglo-saxon), le résultat de l’addition donnerait un résultat tout à fait différent qui n’aurait aucun rapport avec le premier... Cela est bien connu. Malheureusement il n’est pas rare de rencontrer des imposteurs qui n’hésitent pas à ajouter des choses qui n’ont rien à voir entre elles et qui nous font croire que le résultat a un sens scientifique... Cela est souvent le cas de soi-disants « indicateurs » mélangeant des critères variés. Par exemple, le fameux indice de Shangai — qui se propose de classer les universités mondiales par ordre de qualité — ajoute des choses comme, par exemple, le nombre d’étudiants dans l’université et le nombre d’articles publiés par les enseignants-chercheurs qui y travaillent... Passons sur le ridicule de cet indicateur qui a cependant été pris au sérieux par bon nombre de journalistes ou politiques....

Par contre, on peut multiplier ou diviser des quantités de natures différentes. Si je fais 32 kilomètres en deux heures à vélo, ma vitesse moyenne aura été de 16 km/h. J’ai divisé 32 km par 2 h : deux quantités bien différentes (une distance et une durée). Plus intéressant encore : si je multiplie deux quantités de même nature, j’obtiens bien souvent quelque chose de nature différente... Par exemple, si une salle fait 6m de long et 4 m de large, elle fera 24 ${\rm m}^2$ de superficie. Quand je multiplie deux longueurs, j’obtiens une superficie. Très différent de l’addition : quand j’ajoute deux longueurs en les mettant bout à bout, j’obtiens encore une longueur. Des mètres plus des mètres font des mètres, alors que des mètres fois des mètres font des mètres carrés.

Quand on y songe, le statut de la multiplication est bien différent de celui de l’addition. Lorsqu’on veut expliquer à un enfant l’addition, on peut prendre des tas d’exemples concrets, comme mettre des bâtons bout à bout, ou ajouter deux poids sur une balance, ou ajouter les superficies des pièces d’un appartement pour avoir la superficie totale, mais qu’en est-il de la multiplication ? Bien sûr, pour multiplier des nombres entiers, l’explication est facile : si je mets trois rangées de sept billes, j’ai vingt-et-une billes. On explique que la multiplication $3\times 7$ consiste à ajouter 3 fois le nombre 7 si bien qu’on a 7+7+7 c’est-à-dire 21. Mais, ce genre d’explication se limite aux nombres entiers. Quelle est la signification de $2{,}75 \times 4{,}7 = 12{,}925$ par exemple ? Il n’est pas possible d’ajouter $2{,}75$ fois le nombre $4{,}7$.
On peut bien sûr parler d’un rectangle dont les dimensions sont 2,75 m et 4,7 m et calculer sa superficie mais le résultat s’exprimera en mètres carrés. Si j’avais mesuré mon rectangle en pieds, le résultat aurait été tout autre. On pourrait aussi dire que $4{,}7$ c’est $47$ dixièmes, et que $2,75$ c’est $275$ centièmes, et multiplier les nombres entiers $47$ et $275$. Mais ensuite, il nous faudra interpréter $12925$ comme exprimé dans une nouvelle unité, celle des « dix-millièmes » et nous retrouvons la même idée : des dixièmes multipliés par des centièmes donnent des dix-millièmes, de la même manière que des mètres multipliés par des mètres carrés donnent des mètres cubes. Remarquez que c’est exactement de cette manière que vous procédez lorsque vous multipliez à la main deux « nombres à virgules » : vous oubliez d’abord les virgules et ensuite, à la fin du calcul, vous la placez correctement.

Essayons d’y voir plus clair dans cette algèbre compliquée, où il est parfois interdit d’ajouter et où multiplier change la nature des objets que l’on manipule... Mathématisons un peu... Les quantités que nous manipulons sont réparties en différentes espèces : les longueurs, les vitesses, les superficies, les accélérations, les volumes, les densités, les poids, les énergies, les puissances etc. Il est « légal » d’ajouter deux quantités de même espèce et le résultat de l’opération est une quantité de même espèce. On peut par contre multiplier des quantités d’espèces différentes et le résultat est une quantité d’une espèce encore différente. On voit donc apparaître une sorte d’algèbre des espèces. Voici quelques exemples « d’équations » qu’on peut écrire dans cette algèbre symbolique :

\[[Longueur] \times [Longueur] = [Superficie] \]

\[[Superficie] \times [Longueur] = [Volume] \]

\[[Longueur] / [Temps] = [Vitesse]\]

\[[Vitesse] / [Temps] = [Accélération]\]

\[[Masse] / [Volume] = [Masse\,\,volumique]\]

\[[Energie] = [Force] \times [Longueur]\]

etc.

Vous voyez que les choses que l’on manipule ici ne sont pas de nombres mais des espèces. Pour les mathématiciens, c’est un exemple de ce qu’ils appellent un groupe, l’un des objets les plus courants en mathématiques. Depuis longtemps, les physiciens ont constaté que la quasi-totalité des espèces qu’ils mesurent peut se réduire à trois d’entre elles seulement [1]. On peut faire beaucoup de choix pour ces espèces de base à partir desquelles on peut tout exprimer, mais la tradition est d’utiliser

\[[Longueur], [Masse], [Temps].\]

Par exemple, on a

\[[Volume] = [Longueur] ^3\]

\[[Masse\,\,volumique] = [Masse]\times [Longueur]^{-3}\]

\[[Vitesse] = [Longueur] \times [Temps]^{-1}\]

\[[Accélération] = [Longueur] \times [Temps]^{-2}\]

\[[Force] = [Masse] \times [Longueur] \times [Temps]^{-2}\]

\[[Pression] = [Force] / [Superficie] = [Masse] \times [Longueur]^{-1} \times [Temps]^{-2}\]

etc.

Une fois qu’on a choisi les trois espèces fondamentales et que pour chacune d’entre elles, on a choisi une unité, on a une unité naturelle pour toutes les autres espèces. Traditionnellement, les physiciens utilisent les unités que nous héritons de la Révolution française : le mètre pour les longueurs, le kilogramme pour les masses, la seconde pour les durées. On parle du système MKS [2]

Une fois que les trois choix d’unités ont été faits, le reste suit. L’unité de vitesse sera le mètre par seconde : m/s. On comprend la « souffrance » du mathématicien lorsqu’il entend parler d’une vitesse en kilomètres-heures. Non ! il faut dire « kilomètres par heure » , puisqu’on divise une distance par une durée et qu’on ne les multiplie pas ;-) L’unité de pression par exemple est le Pascal, qui correspond à une force de $1 {\rm kg} \times {\rm m} \times {\rm s}^{-2}$ par ${\rm m}^2$.

Mais il n’y a pas que la physique dans la vie... On peut lire par exemple que telle compagnie d’aviation a transporté tant de millions de passagers-kilomètres l’année dernière. Cela a parfaitement un sens : pour chaque passager, on calcule la distance qu’il a parcourue et on ajoute tout cela. On a multiplié deux espèces : celle des $[Passagers]$ et celle des $[Longueurs]$. Notez qu’on pourrait demander aussi le nombre moyen de kilomètres par passager. Il s’agirait de la longueur moyenne des vols des passagers et il faudrait alors diviser des kilomètres par des passagers : cela aussi aurait un sens, mais tout différent. Les trois espèces de base considérées par les physiciens ne rendent donc pas compte de tout....

Que se passe-t-il si je divise deux quantités de même espèce, comme par exemple le périmètre d’un cercle et son diamètre : c’est-à-dire deux longueurs. On obtient bien sûr le nombre $\pi$, le fameux $3{,}14159265...$ qu’on apprend à l’école. Ce nombre ne dépend en aucun cas des unités choisies : si je mesure le périmètre et le diamètre en pieds, en pouces, ou en kilomètres, le résultat est le même. Le $\pi$ des anglo-saxons est le même que celui des français. Ces nombres qui ne dépendent d’aucune unité, ce sont ceux que les mathématiciens préfèrent en secret. Ils les appellent les nombres sans dimension. Nous avons vu que $\pi$ en est un, mais les nombres entiers, $2$ ou $3$, en sont d’autres, tout comme leurs racines carrées etc. Les physiciens également adorent ces nombres : regardez par exemple cette liste. Cette espèce de nombres, je la note $[1]$. Pourquoi ? Parce que si je multiplie n’importe quelle espèce par un tel nombre, je ne change pas l’espèce. Si je multiplie la $[Longueur]$ d’un diamètre par $\pi$ j’obtiens une autre $[Longueur]$ : son périmètre. En termes mathématiques, cette espèce sans dimension est l’élément neutre du groupe des espèces.

A quoi cela sert-il ? A bien comprendre la nature des opérations usuelles et surtout à éviter de faire des opérations contre nature... Voici un exemple : on apprend en physique que lorsqu’un pendule de longueur $l$ oscille, la période $T$ de son oscillation est donnée par la formule :

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

où $g$ est l’accélération de la pesanteur, soit $9{,}81\,{\rm m/s}^2$ (sur Terre). On voit que cette formule est « homogène », ce qui veut dire que les deux côtés du signe $=$ sont de même espèce. Vérifions cela. A gauche $T$ est un $[Temps]$. A droite, nous trouvons $2\pi$ — un nombre sans dimension — fois la racine carrée du quotient d’une longueur et d’une accélération. On trouve donc,

\[[1]\sqrt{\frac{[Longueur]}{[Longueur][Temps]^{-2}}}.\]

C’est-à-dire un $[Temps]$. Ouf ! les deux côtés de la formule sont de même espèce. Lorsqu’on fait ce calcul, on dit qu’on vérifie l’homogénéité d’une formule. Que d’erreurs seraient évitées au baccalauréat si les candidats avaient en permanence en tête la nature des objets qu’ils manipulent et s’ils vérifiaient l’homogénéité de leurs formules...

Un petit résumé ? Les grandeurs que nous manipulons tous les jours sont rarement des « nombres » : elles sont d’une certaine espèce ; pour les transformer en nombres, il faut choisir une unité. Ma taille n’est pas un nombre, c’est une taille... et elle ne s’exprime pas par le même nombre lorsque je l’exprime en mètres ou en pieds. Des grandeurs s’ajoutent sans problème uniquement lorsqu’elles sont de même espèce. Lorsqu’on multiplie les grandeurs, les espèces se multiplient.

Voici un exemple un peu plus élaboré. Supposons que j’observe un disque qui tourne autour de son centre (dans le plan). Si je veux décrire la situation, il me faut donner la vitesse de rotation en comptant par exemple le nombre de tours par minutes. Mais dans quel sens ? Il faut prendre une convention : par exemple, je peux dire que j’affecte la rotation d’un signe $+$ si le disque tourne dans le sens des aiguilles d’une montre et d’un signe $-$ dans le cas contraire. De mon point de vue, la rotation est décrite par un nombre, positif ou négatif. Mais observez la chose suivante : si le disque tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, s’il est suspendu sur un mur vertical et transparent (une vitre par exemple), et si quelqu’un observe le disque depuis l’autre côté de la vitre, il affirmera à juste titre que le disque tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et affectera un signe $-$ à la rotation. Ce qui décrit la rotation n’est donc pas vraiment un nombre... c’est une quantité qui change de signe si je change de côté. D’autres quantités au contraire restent les mêmes quand on les regarde des deux côtés. Par exemple, si je place une petite masse sur le mur, le fait de la peser d’un côté ou de l’autre ne change pas le résultat de la mesure. Voilà qui justifie la définition suivante :

Une quantité paire est un couple de nombres égaux $(a,a)$ : les deux mesures égales des deux côtés de la vitre.

Une quantité impaire est un couple de nombres opposés $(a,-a)$ : les deux mesures d’une rotation de part et d’autre de la vitre.

Je peux ajouter deux quantités paires : \[(a,a)+(b,b)= (a+b,a+b).\]

Le résultat est une quantité paire. Ou deux quantités impaires : \[ (a,-a)+(b,-b)= (a+b, -a-b)\] et le résultat est alors impair. Mais je ne peux pas ajouter une quantité paire à une autre qui est impaire car le résultat n’est ni pair ni impair : \[(2,2)+(1,-1)= (3,1)\] et $(3,1)$ n’est rien du tout. Par contre, je peux multiplier deux quantités impaires $(a,-a)$ et $(b,-b)$ et le résultat est $(ab,ab)$, une quantité paire. Autrement dit, nous sommes dans une situation analogue à ce que nous avons déjà vu : les quantités que nous étudions ont une espèce — paire ou impaire — et on a une « algèbre des espèces » :

\[pair \times pair = pair \]

\[pair \times impair = impair \]

\[impair \times pair = impair \]

\[impair \times impair = pair. \]

Le groupe abélien des espèces a deux éléments... On peut ajouter deux quantités si elles sont de même espèce mais on peut toujours les multiplier.

Ce petit exemple un peu simpliste a été profondément généralisé par les physiciens théoriciens : les particules élémentaires se décomposent en deux types : bosons et fermions. Les fermions sont analogues à nos quantités impaires et les bosons aux quantités paires. Les physiciens d’aujourd’hui manipulent des objets bien plus complexes que des longueurs, des masses ou des temps....

A suivre...