Antes de comenzar...

Recordamos que el modelo SIR involucra a tres poblaciones ($S$ : sanos, $I$ : infectados, $R$ : retirados) y puede ser esquematizado de la siguiente forma :

Aquí, $\beta$ representa la tasa de infección y $\gamma$ la tasa de mejora [1]. La ecuación subyacente es :

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t)&(1.1)\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& \beta S(t)I(t)-\gamma I(t)&(1.2)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t)&(1.3) \end{cases} \]

Las definiciones sobre el modelo y sus parámetros están disponibles en el artículo Modelamiento de una epidemia y en [HW].

El modelo SEIR

El modelo SEIR es un poco más elaborado : se consideran tres hipótesis adicionales a las del modelo SIR (en particular, involucra aspectos demográficos). La población total $N(t)$ evoluciona a lo largo del tiempo $t$. He aquí el paso del modelo SIR hacia el modelo SEIR :

1. Una nueva subpoblación es añadida : la de las personas infectadas pero no infecciosas (expuestas), que no son contagiosas. Esta es representada por la función $E(t)$, y permite tomar en consideración el periodo de incubación (vía $\alpha$ : la tasa de incubación) de una enfermedad. Así, retomando el esquema que representa al modelo SIR, agregamos un término ${\color{blue}{\pm \alpha E(t)}}$ y obtenemos
   \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t)\\ \displaystyle {\color{blue}{\frac{dE(t)}{dt}}} &=& \beta S(t)I(t){\color{blue}{-\alpha E(t)}}\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& {\color{blue}{\alpha E(t)}}-\gamma I(t)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t) \end{cases} \]
2. La tasa de natalidad $\nu$ de la población también es considerada. Se asume que las personas nacen sanas, y se agrega un término ${\color{green}{\nu N(t)}}$ a la primera línea :
   \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t){\color{green}{+\nu N(t)}}\\ \displaystyle {\color{blue}{\frac{dE(t)}{dt}}} &=& \beta S(t)I(t){\color{blue}{-\alpha E(t)}}\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& {\color{blue}{\alpha E(t)}}-\gamma I(t)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t) \end{cases} \]
3. Finalmente, se completa añadiendo la tasa de mortalidad $\mu$ de la población. Se considera que una persona puede morir sin importar su estado (S,E,I o R), y de causa no necesariamente ligada a la epidemia. Se retira entonces estas personas de cada línea (esto es, ${\color{red}{-\mu S(t)}}$, ${\color{red}{-\mu E(t)}}$, ${\color{red}{-\mu I(t)}}$ o ${\color{red}{-\mu R(t)}}$, según la subpoblación considerada), y se obtiene :
   \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t){\color{green}{+\nu N(t)}}{\color{red}{-\mu S(t)}}\\ \displaystyle {\color{blue}{\frac{dE(t)}{dt}}} &=& \beta S(t)I(t){\color{blue}{-\alpha E(t)}}{\color{red}{-\mu E(t)}}\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& {\color{blue}{\alpha E(t)}}-\gamma I(t){\color{red}{-\mu I(t)}}\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t){\color{red}{-\mu R(t)}} \end{cases} \]
   Bosquejamos un ejemplo de lo que podemos obtener tras resolver numéricamente este sistema :

   

   Solución del modelo SEIR

Las tasas utilizadas son las siguientes : 0,009 (natalidad), 0,01 (mortalidad), 0,75 (incubación), 0,05 (mejora) y 0,8 (transmisión).

Observaciones : La tasa de mortalidad es superior a la de natalidad, pues la población disminuye (curva violeta). El pico de la curva verde que representa a las personas infectadas no infecciosas precede al pico de la curva amarilla que representa a las personas infectadas e infecciosas. Además, tras el pico de la curva amarilla, la curva decrece y, simultáneamente, las curvas roja (personas retiradas) y azul (personas sanas) crecen.

Usted puede visualizar la evolución del sistema SEIR modificando los parámetros de esta simulación interactiva :

Un problema práctico que se presenta es el cálculo correcto de los parámetros $\alpha, \beta, \gamma, \mu$ y $\nu$ en una situación dada. Este trabajo es efectuado colaborativamente entre equipos de médicos, epidemiologistas, virologistas y matemáticos (las tasas de natalidad y mortalidad pueden ser obtenidas a través de los censos). Por ejemplo :

¿Cómo calcular la tasa de mortalidad de una enfermedad ? La respuesta parece simple : se divide el número de muertos por el de personas contaminadas. ¡Pero hay una trampa ! [2] Para muchos virus (y este es el caso del Covid-19), el número de personas asintomáticas [3] no es despreciable. Por tanto, el número de personas contaminadas es significativamente mayor, y la tasa de mortalidad más baja. Una discusión sobre este punto aparece en el artículo Tasa de mortalidad del virus Ébola de este sitio.

En nuestro modelamiento hemos hecho suposiciones bastante fuertes : una persona retirada es inmunizada (es decir, no se enferma nuevamente ; este es el caso de la varicela, pero no de una gripe estacional, por ejemplo), las personas nacen sanas, etc. Si despliega el texto de abajo verá aparecer modelos SEIR modificados [ST] que tienen en consideración estos aspectos para la implementación de las distintas curvas.

A pesar de su complejidad, pareciera ser que el modelo SEIR aún no tiene en cuenta muchos parámetros. De hecho, por el momento estamos viendo la evolución de la epidemia solo en relación con el tiempo $t$. En el próximo modelo, también tendremos en cuenta la edad $a$ de las personas.

Modelo SEIR estructurado por edad

En este modelo, se considera que el comportamiento de la enfermedad depende de la edad de la persona (lo cual es el caso para el Covid-19). Se obtiene entonces un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Grosso-modo, retomando las ecuaciones SEIR, y con las mismas subpoblaciones $S(a,t), E(a,t), I(a,t)$ y $R(a,t)$ pero esta vez en función del tiempo $t$ y de la edad $a$, tenemos :
\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial S(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial S(a,t)}{\partial a} &=& -\lambda(a,t) S(a,t)-\mu(a) S(a,t)&(2.1)\\ \displaystyle \frac{\partial E(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial E(a,t)}{\partial a} &=& \lambda(a,t) S(a,t)-\alpha(a) E(a,t)-\mu(a)E(a,t)&(2.2)\\ \displaystyle \frac{\partial I(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial I(a,t)}{\partial a} &=& \alpha(a) E(a,t)-\gamma(a)I(a,t)-\mu(a)I(a,t)&(2.3)\\ \displaystyle \frac{\partial R(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial R(a,t)}{\partial a} &=& \gamma(a)I(a,t)-\mu(a)R(a,t)&(2.4) \end{cases} \]
Aquí, $\alpha(a),\gamma(a)$ y $\mu(a)$, respectivamente, representan las tasas de incubación, mejora y mortalidad, todas ellas dependientes de la edad. Consideramos además que $I(0,t)=E(0,t)=R(0,t)=0$ y $S(0,t)=S_L$ para todo tiempo $t$ (las personas nacen ($a=0$) sanas). El parámetro $S_L$ se supone conocido para una población dada (tasa de natalidad en función de la edad). Uno de los coeficientes deviene más complicado que para los modelos precedentes : la tasa de infección, denotada aquí $\lambda(a,t)$. Esta vez, ella depende de la edad del individuo y del tiempo, y viene dada por \[\lambda(a,t)=\int_0^{a_{\text{max}}}\beta(u,a)I(u,t)du,\]
donde $a_{\text{max}}$ es la edad máxima alcanzada en la población y $\beta$ es una función que describe la tasa de infección para una edad fija dada. El coeficiente $\lambda$ permite sumar (de allí la integral...) el número de personas sanas que se infectarán tras el contacto con personas infectadas (de donde el coeficiente $\beta(u,a)I(u,t)$) para cada edad considerada (de 0 a $a_{\text{max}}$). Escogimos aquí una gaussiana centrada en $a$ para representar $\beta$, pues consideramos que es más probable que una persona contamine a otras personas de una edad relativamente cercana (escuelas, universidades, trabajo, etc) :
\[\beta(u,a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(u-a)^2}{2\sigma^2}},\]
donde $\sigma$ depende del virus considerado.

Para más precisiones e informaciones sobre la gaussiana (así como la ’’curva de campana’’) le aconsejamos la lectura escalonada según su interés de este artículo, este artículo o este artículo (se trata del mismo artículo escrito para tres niveles de lectura diferentes).

Una vez que todos estos parámetros son definidos :

¿Cómo leer este sistema de ecuaciones ?

De manera análoga a los sistemas SIR y SEIR, las variaciones de edad $a$ y en el tiempo $t$ quedan representadas por derivadas parciales (pues permiten tomar en cuenta cada una de las dos variables) : $\frac{\partial}{\partial t}$ para el tiempo y $\frac{\partial}{\partial a}$ para la edad. Luego, la lectura del sistema es similar a la del modelo SEIR : el término $-\mu(a)$ representa en cada línea a las personas muertas, el término $\pm \lambda(a,t) S(a,t)$ en las líneas (2.1) y (2.2) representa al número de personas sanas que se infectan pero no se hacen infecciosas, el término $\pm\alpha(a)E(a,t)$ corresponde a las personas no infecciosas (2.2) que se vuelven infecciosas (2.3) y, finalmente, el término $\gamma(a)I(a,t)$, que representa a las personas que mejoran (2.4), es sustraído de la línea (2.3).

Usando un método numérico más complicado que el de los modelos SIR y SEIR, podemos obtener estos gráficos :

Podemos ver claramente (en el gráfico de la derecha, curva violeta) que la población mayor de 60 años se ha reducido considerablemente debido a la epidemia, lo cual no es el caso de la población de entre 0 y 25 años. Además, el número de personas infectadas no infecciosas (curva amarilla, a derecha) es mayor en los jóvenes entre 0 y 20 años que en las personas mayores de más de 60 años.

El estudio en mayor profundidad del modelo SIR / SEIR estructurado por edad está disponible en [KWI] o en [ZK].

Una aproximación a las técnicas de resolución numérica de los sistemas SIR y SEIR

Los más avanzados matemáticamente habrán reconocido que los modelos SIR y SEIR recurren a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales para las cuales no tenemos una resolución explícita : no tenemos una fórmula que dé la respuesta directamente. El modelo SEIR estructurado por edad, por su parte, muestra derivadas parciales (EDP). Por lo tanto, para resolverlos, se debe utilizar métodos de resolución numérica [4]. Esta parte es claramente más técnica y no contribuye mucho a la comprensión del problema, está escrita en el siguiente bloque desplegable y se deja a los lectores más experimentados.

Otros modelos... aún más complicados

Hasta ahora, solo hemos considerado la evolución de una epidemia según la edad y el tiempo. Falta (al menos) un parámetro : el espacio. La epidemia no se comportará de manera idéntica de país en país o de ciudad en ciudad. De hecho, podemos tomar una estructura de población más compleja : considerar el flujo de personas (aviones, trenes, barcos, automóviles), sus contactos (especialmente durante sus viajes) y predecir la evolución de la epidemia en el espacio. Esto permite predecir, por ejemplo, dónde es más ’’relevante’’ vacunar primero, o qué aeropuerto debería estar cerrado. Además, los modelos epidemiológicos pueden ser más complicados si se consideran, por ejemplo, los períodos de tiempo (duración de la enfermedad, etc.), los diversos métodos de transmisión del mismo virus, la variación en la tasa de curación según el número de pacientes, y los diferentes niveles de infectividad. Señalemos que estos modelos existen, pero no se detallarán aquí.

¿Por qué complicar los modelos ? Agregar más parámetros tiene un objetivo : obtener una simulación más fina y un resultado más cercano a la realidad. El nivel de complejidad del modelo depende del número de parámetros elegidos (estructura de la población, posibles interacciones, fenómenos a tener en cuenta o no, etc.) y del modelo utilizado (SIR, SEIR, edad SEIR u otros). De hecho, estas elecciones se determinan de acuerdo con el objetivo del estudio a realizar.

Este es el caso de la siguiente simulación interactiva que se basa en un modelo más complejo que el único modelo SIR : incluye las tres subpoblaciones (S, I y R), así como las tasas de natalidad y mortalidad del modelo SEIR, pero también los movimientos y contactos de individuos modelados al azar. El encierro también se tiene en cuenta.

Para las tablets, para una versión en pantalla plena, ver esta página del sitio del CNRS.

Las personas sanas (que pueden ser infectadas), infectadas, retiradas (por lo tanto, curadas e inmunes) y fallecidas están representadas respectivamente por puntos grises, rojos, verdes y cruces negras. Las personas confinadas están representadas por un punto rodeado por un círculo más grueso : pueden contaminarse pero no pueden contaminar a nadie [6].

Conclusión y advertencia

La visión general de los modelos epidemiológicos propuesta aquí obviamente no es exhaustiva. Sin embargo, ciertamente permite descubrir algunos de los más simples. La resolución digital (y, por lo tanto, su implementación en una computadora) sigue siendo esencial, dada la ausencia de un método de resolución exacto.

Para concluir, es útil recordar que los distintos modelamientos corresponden a herramientas matemáticas que ayudan a prever la evolución de una epidemia. Si bien son precisos y rigurosos, se calculan en un tiempo preciso, con parámetros dados y en un contexto más bien ideal. Modelar la reacción y el comportamiento de las personas, la evolución del virus (e.g. eventual mutación) y todo otro parámetro de la situación es extremadamente difícil. Es por esta razón que, tal como sucede para los sondeos y las estadísticas, para utilizarlos es necesario saber leerlos y entenderlos. En particular, es pertinente hallar un buen equilibrio entre considerar seriamente los modelos epidemiológicos obtenidos por modelamiento y distanciarse ligeramente de la situación.

Referencias

[HW]
Howard Weiss, The SIR model and the Foundations of Public Health, MATerials MATemàtics, Publicació electrònica de divulgació del Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, 2013.

[ST]
Suzanne Touzeau, Modèles épidémiologiques, AgroParisTech (cours au format PDF), 2010.

[KWI]
Toshikazu Kuniya, Jinliang Wang, Hisashi Inaba, A multi-group SIR epidemic model with age structure, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2016.

[ZK]
Gul Zamana, Asaf Khana, Dynamical aspects of an age-structured SIR endemic model, Computers and Mathematics with Applications, 2016.