Para los Estados y las organizaciones internacionales, como por ejemplo la OMS (Organización Mundial de la Salud) o la UE (Unión Europea), conocer la evolución de una epidemia (gripe H1N1, virus Ébola, coronavirus), incluso animal (gripe aviar, peste porcina, rabia) o vegetal, resulta primordial [1].

En efecto, este estudio permite predecir la evolución de la enfermedad en el curso del tiempo, y tiene por objetivo principal guiar a los mandatarios en la toma de decisiones en materia de salud pública. La vacunación, la cuarentena, la protección de la población en riesgo (personas de edad avanzada, personas inmunodepresivas o niños) son ejemplos de políticas sanitarias concebidas para responder a una crisis.

Es necesario mencionar que los modelos matemáticos son versiones simplificadas y de cuyas limitaciones se debe tener conciencia. Sin embargo, son muy útiles para intentar prever la evolución de una epidemia. Las decisiones deben ser, por tanto, ’’motivadas’’ por estos modelos. Comenzamos entonces con el modelo SIR.

El modelo SIR

El modelo SIR es un ejemplo de modelo de compartimientos, es decir, un modelo en que la población es dividida en varias categorías.

Para una población dada, se estudia la magnitud de tres poblaciones a lo largo del tiempo $t$ : $S(t)$ representa las personas sanas (susceptibles en inglés) en el tiempo $t$, $I(t)$ las personas infectadas (infected), y $R(t)$ las personnes retiradas (removed) [2]. Por tanto, $N=S(t)+I(t)+R(t)$ representa una población constante a lo largo del tiempo. Es preciso distinguir entre personas sanas y personas retiradas : las primeras no han sido infectadas aún, mientras que las retiradas están recuperadas y, por tanto, inmunizadas. Dicho de otra forma, las personas retiradas ya no son consideradas. En consecuencia, el modelo SIR no se ocupa directamente de predecir la mortalidad de la epidemia ; para esto se requiere de otro modelo, el SEIR, que será introducido en el segundo artículo Modelización de una epidemia, parte 2, prontamente disponible. El modelo SIR puede ser descrito entonces por el diagrama siguiente :

En este, $\beta$ representa la tasa de transmisión, es decir, la tasa de personas que se infectan, y $\gamma$ es la tasa de mejora, es decir, la tasa de personas infectadas que son retiradas [3]. Matemáticamente, el modelo SIR viene dado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales :

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t)&(1.1)\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& \beta S(t)I(t)-\gamma I(t)&(1.2)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t)&(1.3) \end{cases} \]

¿Cómo leer este sistema ?

Las derivadas $\frac{d}{dt}$ permiten conocer la variación (en particular, crecimiento o decrecimiento) de $S$, $I$ y $R$ en función del tiempo $t$, para así describir su evolución en el tiempo. El término $S(t)I(t)$ representa el número de contactos entre personas sanas y personas infectadas. Como $\beta$ es la tasa de transmisión, habrá $\beta S(t)I(t)$ nuevas personas infectadas. Estas deben ser sustraídas de las personas sanas (1.1), y se añaden a las personas infectadas (1.2). De la misma forma, entre las personas infectadas, algunas mejorarán : si $\gamma$ es la tasa de mejora, habrá $\gamma I(t)$ nuevas personas recuperadas, las que deben ser sustraídas de las personas infectadas (1.2) y añadidas a las personas retiradas (1.3).

He aquí lo que uno puede obtener gracias a una solución numérica :

Este modelo data de 1927 [ST], y si bien puede parecer simple (incluso, muy simple), es sumamente eficaz : ayudó en la política sanitaria de vacunación contra la viruela a principios del siglo XX. Las personas sanas y vacunadas son entonces directamente retiradas del sistema, y a corto plazo la epidemia se detiene.

Ahora bien, una política de vacunación que persiga vacunar al 100% de la población es prácticamente imposible. Se debe entonces hallar el buen equilibrio para vacunar a una parte importante de ella para así ralentizar la epidemia, y luego detenerla. Es precisamente esto lo que permitió el modelo SIR.

Una versión más compleja de este modelo es el SEIR, que permite tomar en cuenta más parámetros de la población y del virus ; este será el objeto de la parte 2 de este artículo. Hagamos ahora un poco de teoría matemática.

Un poco de matemáticas : tasa de reproducción y teorema del umbral

De manera puramente matemática, podemos afirmar que los límites de las funciones $S(t),I(t)$ y $R(t)$ existen cuando $t$ tiende a $+\infty$ (ver [HW]). Además,
\[\lim_{t \to +\infty}I(t)=0,\]
es decir, la epidemia necesariamente se detiene. Insistimos en que este punto de vista es puramente matemático, y puede abarcar el caso en que la epidemia se detiene porque la población completa fallece... También considera el caso en que la población es vacunada o inmunizada (inmunidad natural o colectiva). Es por esta razón que las medidas políticas deben ser tomadas para lograr disminuir el tiempo de la epidemia. Para esto, es necesario reducir lo que se denomina tasa de reproducción $R_0$ :

A principios de la epidemia, la expresión de $R_0$ es $\beta/\gamma$, pues $1/\gamma$ representa la duración media de la enfermedad y, al inicio, las personas están casi todas sanas.

Antes de ser usado en epidemiología, este concepto había sido originalmente usado en demografía. Para un relato histórico más completo y una definición más precisa -aunque más delicada- de la tasa de reproducción, lea el artículo Dinámica de poblaciones publicado en este sitio con ocasión de la gripe H1N1.

Ahora podemos enunciar el teorema del umbral :

Es sobre este teorema que se basan científicos y políticos cuando señalan -en particular, para la epidemia del coronavirus- que se debe imperativamente reducir $R_0$ para hacer lo más cercano posible de 1 [4]. He aquí dos casos (un poco extremos) que ilustran el teorema del umbral para el modelo SIR :

La definición de $R_0$, la demostración del teorema y otros resultados están disponibles en [HW].

Sigamos un poco con el modelo SIR para ilustrar cómo la modificación de los parámetros puede impactar la traza de la curva.

Eficiencia de las medidas y efectos sobre la curva

¿Para qué sirve este modelamiento ? ¿Cómo visualizar los efectos de las decisiones sobre la epidemia ? A continuación, algunos ejemplos simples en los que hemos modificado un parámetro (y fijado otros) :

Modificación de la tasa de transmisión

Esta tasa puede hacerse decrecer mediante medidas como el distanciamiento social, el confinamiento o el cierre de ciertos lugares.

Se observa claramente que el pico de la curva de $I$ (infectados, en naranjo) es menos alto (0,8 contra 0,6), y que la curva está más aplanada. Además, la curva de $S$ (en azul) decrece mucho más rápido a izquierda que a derecha.

Modificación de la tasa de mejora (’’guérison’’)

El estado de un sistema de salud o la existencia de un tratamiento pueden permitir aumentar esta tasa.

Como en el caso anterior, se aprecia claramente el efecto sobre el pico de la curva de $I$ (infectados, en naranjo) : de 90% de la población infectada a 60%.

Modificación simultánea de las dos tasas

La combinación de medidas que permiten bajar la tasa de transmisión (medidas sanitarias) y aumentar la tasa de mejora (medidas médicas y de investigación) permiten modificar el pico de la curva de la manera siguiente :

El efecto sobre el pico de la curva de $I$ (en naranjo) es indiscutible : se pasa de una altura de 0,9 (con una curva que ’’desciende lentamente’’) a una altura de 0,5 (con una curva que ’’desciende’’ casi inmediatamente y muy rápido). Por otra parte, a izquierda, la curva de personas sanas $S$ (en azul) decrece muy rápido hacia 0, mientras que a derecha permanece arriba de 0,1.

Modificación interactiva

Usted puede ilustrar por sí mismo(a) el efecto de la modificación de los parámetros con esta simulación interactiva.

Observación importante : Las tasas consideradas arriba son fijadas con fines pedagógicos y para tener una buena ilustración ; de hecho, fueron escogidas arbitrariamente. Por lo tanto, las curvas que aparecen no reflejan la situación actual con la epidemia de coronavirus, contrariamente al resto de este artículo.

Otra simulación interactiva : discreta y aleatoria

La simulación siguiente ilustra la propagación del coronavirus y es interactiva ; no está basada en el modelo SIR, sino que en un modelo más complejo (que considera más parámetros). Esta simulación tiene puntos en común con el modelo SIR (como los compartimentos de población : sanos, infectados, retirados), pero también algunas diferencias importantes : es discreta (cada punto representa a una persona) y aleatoria (lo cual permite modernizar los desplazamientos entre personas y sus contactos potenciales). Ella permite también apreciar de manera más precisa el impacto de la modificación de los parámetros a lo largo de la evolución del virus. Nuevamente, usted puede simular la propagación del virus modificando parámetros como el tiempo de mejora o el número de individuos infectados en un inicio.

Para las tablets : ver este sitio del CNRS para una versión en página completa.

Las personas sanas (S - aún no infectadas), infectadas (I) y retiradas (R - recuperadas y, por tanto, inmunizadas) quedan representadas por puntos grises, rojos y verdes, respectivamente.

Una simulación interactiva más rica en parámetros (mortalidad, confinamiento) está disponible en la segunda parte.

Eficiencia de las medidas : el ejemplo del Reino Unido

Modificar los parámetros de nuestras simulaciones del tipo SIR nos ha permitido sacar algunas conclusiones de modificación de la curva. Existen simulaciones más complejas : los epidemiológicos utilizan modelos más realistas y sofisticados para tratar de evaluar las distintas medidas de salud pública. Además, para quienes leen inglés, este artículo (formato PDF) del Imperial College London datado del 6 de marzo de 2020 estudia el impacto de las decisiones no paramétricas para reducir la mortalidad del coronavirus en el Reino Unido y los Estados Unidos. En particular, allí se discuten medidas como el cierre de escuelas, la cuarentena de personas infectadas, el distanciamiento social y el confinamiento. El modelo utilizado es sensiblemente más complicado que el SIR : considera el espacio geográfico (la localización de las escuelas y lugares de trabajo, entre otras cosas) y es basado en las interacciones entre individuos de la población. Se considera que hay transmisión cuando hay contacto entre una persona infectada y una sana, ya sea en la casa, la escuela, el trabajo o de manera aleatoria en el espacio público. Los parámetros utilizados (tasa de reproducción, tasa de incubación, tiempo de contagio, etc) son escogidos siguiendo los primeros trabajos de la comunidad china, que estudió el coronavirus en Wuhan. Gracias a la propagación del virus se establecen y modifican los parámetros que, posteriormente, son utilizados en los modelamientos.

En el texto aludido se estudia principalmente el efecto de las medidas sanitarias en la evolución de la epidemia en el Reino Unido. Entre otras cosas, allí se puede apreciar el siguiente gráfico :

Comparaison du nombre de lits occupés au Royaume-Uni selon différentes mesures prises

En él se ilustra el efecto de las decisiones sobre el número de camas de animación / cuidados intensivos ocupadas por 100 000 personas. Se parecía claramente que la curva celeste (confinamiento, cuarentena y distanciamiento social de personas de más de 70 años) está mucho más ’’aplanada’’ y con un pico ’’menos alto’’ que la curva negra (que corresponde a no tomar ninguna medida). Esto es de primera importancia para los hospitales. En el primer caso, el número de enfermos graves es muy elevado en un tiempo muy corto, lo cual sobrepasa las capacidades de los hospitales. Contrariamente, con el conjunto de las medidas tomadas, el número de enfermos graves es menor y se esparce en un tiempo más prolongado, lo que permitirá a los hospitales prepararse y adaptar su capacidad para recibir personas. También se aprecia que, en un caso ideal, estas medidas pueden permitir reducir el pico de la epidemia en dos tercios, y dividir el número de muertos por 2...

Conclusión y advertencia

A pesar de su simpleza, el modelo SIR permite obtener un primer modelamiento de una epidemia y observar el impacto de las medidas sanitarias en su evolución. En un segundo artículo, veremos cómo modificarlo para considerar parámetros complementarios, tales como la edad de las personas o la demografía de una población.

Para concluir, es útil recordar que los distintos modelamientos corresponden a herramientas matemáticas que ayudan a prever la evolución de una epidemia. Si bien son precisos y rigurosos, se calculan en un tiempo preciso, con parámetros dados y en un contexto más bien ideal. Modelar la reacción y el comportamiento de las personas, la evolución del virus (e.g. eventual mutación) y todo otro parámetro de la situación es extremadamente difícil. Es por esta razón que, tal como sucede para los sondeos y las estadísticas, para utilizarlos es necesario saber leerlos y entenderlos. En particular, es pertinente hallar un buen equilibrio entre considerar seriamente los modelos epidemiológicos obtenidos por modelamiento y distanciarse ligeramente de la situación.

La continuación estará prontamente disponible aquí : Modelamiento de una epidemia, parte 2

Références

[HW]
Howard Weiss, The SIR model and the Foundations of Public Health, MATerials MATemàtics, Publicació electrònica de divulgació del Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, 2013.

[ST]
Suzanne Touzeau, Modèles épidémiologiques, AgroParisTech (cours au format PDF), 2010.