Votre remarque

Vous comptez les entiers inférieurs à $x=1\,000\,000\,000=10^9$ qui possèdent exactement $8$ diviseurs. Notons $A$ l’ensemble des entiers non nuls qui possèdent $8$ diviseurs, vous vous intéressez à la proportion
\[\frac{\mathrm{card}\{n\in A,\ n\le 10^9\}}{\mathrm{card}\{n\in\mathbb{N}^*,\ n\le 10^9\}} =\frac{\mathrm{card}\{n\in A,\ n\le 10^9\}}{10^9},\]
où $\mathrm{card}$ désigne le cardinal, c’est-à-dire le nombre d’éléments.

Je trouve remarquable que vous ayez réussi à calculer cette proportion pour un nombre aussi grand que $10^9$. J’ai lancé des calculs avec Pari/GP, logiciel libre «conçu pour les calculs rapides en arithmétique» qui réussit à calculer jusqu’à $10^9$ en moins d’une heure, ce qui m’impressionne. Ces calculs donnent:
\[\frac{\mathrm{card}\{n\in A,\ n\le 10^9\}}{\mathrm{card}\{n\in\mathbb{N},\ n\le 10^9\}}\simeq0,\!214,\]
un résultat relativement proche du vôtre (en allant jusqu’à $10^8$ au lieu de $10^9$, la proportion est environ $0,\!219$, plus proche de $22~\%$).

On voudrait savoir ce que devient la proportion si l’on remplace $10^9$ par $N$ et si l’on fait tendre $N$ vers l’infini. La réponse est un peu décevante: elle tend vers $0$. Je vais essayer de vous en convaincre.

Expériences numériques

Voici quelques expériences numériques qui incitent à la prudence. La figure ci-dessous montre, pour plusieurs valeurs de $N$, la proportion des entiers $n\le N$ qui ont respectivement deux diviseurs (ce sont les nombres premiers), quatre diviseurs, huit diviseurs ou seize diviseurs.

Fréquence des nombres ayant deux, quatre, huit ou seize diviseurs jusqu’à N = 100 et N = 1000

Par exemple, dans le premier graphe ($N$ varie de $1$ à $100$), le point bleu d’abscisse $100$ a pour ordonnée $0,\!1$, ce qui signifie qu’il y a $0,\!1N=10$ nombres inférieurs à $100$ qui ont huit diviseurs: ce sont $24$, $30$, $40$, $42$, $54$, $56$, $66$, $70$, $78$, $88$.

Pour $N\le 50$, les nombres premiers sont les plus nombreux. Puis les nombres ayant deux facteurs premiers (quatre diviseurs) prennent la tête. Vers $700$ ou $800$, les nombres premiers et les nombres ayant huit diviseurs ont à peu près la même fréquence.

Augmentons encore la valeur de $N$.

Fréquence des nombres ayant deux, quatre, huit ou seize diviseurs jusqu’à N = 10⁴ et N = 10⁵

Si on calcule jusqu’à $10^4$, la prédominance des nombres ayant quatre facteurs premiers semble bien établie! Sauf qu’en termes électoraux plus que mathématique, la dynamique joue contre eux. Et en effet, ils se font dépasser par les nombres ayant huit diviseurs vers $3\cdot10^5$. Quant aux nombres à seize diviseurs, ils partaient lentement mais leur remontée par rapport aux autres semble inéluctable.

Vers le milliard, les nombres à seize diviseurs rattrapent ceux à quatre diviseurs tandis que la baisse de ceux à huit diviseurs est encore lente mais inexorable. L’image à la une résume les figures précédentes avec une échelle logarithmique sur l’axe des abscisses.

C’est bien ce qui se passe: les nombres à huit diviseurs se raréfient petit à petit, comme les nombres premiers. Nous allons voir pourquoi.

Aparté: nombre de nombres premiers

Avant cela, un mot sur les nombres premiers: il y en a $4$ jusqu’à $10$, encore $25$ jusqu’à $100$, seulement $168$ jusqu’à $1000$: leur proportion tend à décroître. Une version quantitative a été conjecturée par Carl-Friedrich Gauss vers 1792, puis par Adrien-Marie Legendre vers 1797: si on note $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers inférieurs à $x$, la proportion $\pi(x)/x$ est équivalente à l’inverse du logarithme de $x$ lorsque $x$ tend vers l’infini, c’est-à-dire que
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1.\]
Ce théorème des nombres premiers a été démontré en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin (un siècle plus tard!). Pour les nombres à huit diviseurs, nous allons voir un résultat de même nature à peine plus récent.

Reconnaître les nombres à huit diviseurs

Vous n’êtes sans doute pas sans savoir que si un entier $n$ se décompose en produit de facteurs premiers distincts sous la forme
\[n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_r^{m_r},\]
(par exemple, si $n=360=2^3\cdot3^2\cdot5$, on a $r=3$, $p_1=2$, $m_1=3$, $p_2=3$, $m_2=2$, $p_3=5$, $m_3=1$), alors le nombre de diviseurs de $n$ est
\[\tau(n)=(m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_r+1)\]
(dans l’exemple: $360$ possède $(3+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1)=4\cdot3\cdot2=24$ diviseurs) (la notation $\sigma_0(n)$ est aussi très habituelle).

Un entier a deux diviseurs si et seulement s’il est premier. Un entier a quatre diviseurs si et seulement si $(m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_r+1)=4=2\times2$: cela peut se produire dans deux cas seulement:

• soit $r=2$ et $m_1+1=m_2+1=2$, c’est-à-dire $m_1=m_2=1$; ce sont les entiers qui possèdent deux facteurs premiers distincts; je les appellerai «nombres de la forme $p_1p_2$»;
• soit $r=1$ et $m_1+1=4$, c’est-à-dire $m_1=3$: ce sont les cubes parfaits.

Autrement dit, les nombres $n$ tels que $\tau(n)=4$ sont les cubes $p_1^3$ et les nombres de la forme $p_1p_2$.

Pour décrire tous les entiers $n$ tels que $\tau(n)=8$, on doit résoudre l’équation $(m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_r+1)=8$. On peut factoriser $8$ de trois façons différentes:
\[8=2\cdot2\cdot2=4\cdot2=8,\] ce qui conduit aux solutions suivantes:

• soit $r=3$, $m_1=m_2=m_3=1$: ce sont les produits de trois nombres premiers distincts;
• soit $r=2$, $m_1=3$, $m_2=1$: ce sont les nombres de la forme $p_1^3p_2$, où $p_1$ et $p_2$ sont premiers et distincts;
• soit $r=1$, $m_1=7$: ce sont les nombres de la forme $p_1^7$, où $p_1$ est premier.

Retenons de cela que les nombres à huit diviseurs ont très peu de facteurs premiers. On pourrait par boutade les appeler «presque premiers», sauf que ce n’est pas une boutade!

La clé: les nombres presque premiers

Étant donné un entier $k$ fixé, on dit qu’un entier $n$ est $k$-presque premier s’il possède $k$ facteurs premiers comptés avec multiplicités. Cela signifie que si la factorisation de $n$ en produit de facteurs premiers est $n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_r^{m_r}$, on dit que $n$ est $k$-presque premier si $m_1+\cdots+m_r=k$.

Par exemple, les nombres premiers sont les nombres $1$-presque premiers; $28=2^2\cdot7$ est $3$-presque premier (on somme les exposants: $2+1=3$).

Edmund Landau a estimé la proportion des nombres presque premiers jusqu’à un point donné: on peut dire qu’il a quantifié leur raréfaction par un théorème très semblable au théorème des nombres premiers évoqué ci-dessus. Si l’on fixe $k$ et que l’on note $\pi_k(N)$ le nombre de nombres $k$-presque premiers inférieurs à $N$, on a lorsque $N$ tend vers l’infini [1]:
\[\pi_k(N)\sim \frac{N}{\ln N}\;\frac{(\ln\ln N)^{k-1}}{(k-1)!}.\]
Pour $k=1$, on retrouve le théorème des nombres premiers. Le résultat de Landau a pour conséquence que la proportion $\pi_k(N)/N$ tend vers $0$ lorsque $N$ tend vers l’infini:
\[\lim_{N\to\infty}\frac{\pi_k(N)}{N} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(k-1)!}\;\frac{(\ln\ln N)^{k-1}}{\ln N}=0.\]

Retour aux nombres ayant huit diviseurs

En particulier, les nombres ayant huit diviseurs sont donc
nécessairement $3$-presque premiers, $4$-presque premiers ou $7$-presque
premiers. Le nombre de tels nombres entre $1$ et $N$ est plus petit que
$\pi_3(N)+\pi_4(N)+\pi_7(N)$. On peut en conclure que leur fréquence
tend vers $0$ lorsque $N$ tend vers l’infini.

Une dernière remarque numérique. On a:
\[\frac{\pi_3(10^9)}{10^9}\simeq0,2217:\]
autrement dit, l’estimation donnée par Landau de la fréquence des nombres $3$-presque premiers inférieurs à $10^9$ est de $22~\%$.

C’est cohérent avec nos résultats numériques car les nombres $3$-presque premiers sont en majorité ceux de la forme $p_1p_2p_3$, qui ont huit diviseurs; inversement, les nombres ayant huit diviseurs les plus nombreux sont ceux de cette forme car ceux de la forme $p_1^3p_2$ et a fortiori ceux de la forme $p_1^7$ sont beaucoup plus rares.

Exercice pour la prochaine fois...

• Pourquoi ai-je choisi les nombres ayant $2$, $4$, $8$ ou $16$ diviseurs?
• Plus précisément, pourquoi est-il à peu près évident que les nombres ayant $3$, $5$ ou $9$ diviseurs ne tiendront jamais le haut du pavé?
• Entre $1$ et $10^{2017}$, quel est le nombre de diviseurs le plus fréquent?
• Peut-on estimer l’erreur commise en estimant le nombre de nombres ayant huit diviseurs entre $1$ et $N$ par $\pi_3(N)$?

En guise de conclusion...

Le contraste entre les simulations et le résultat théorique à l’infini montre que $10^9$ est un tout petit nombre à certains égards... En effet, la fréquence des nombres à huit diviseurs entre $1$ et $N$, qui tend vers $0$ lorsque $N$ tend vers l’infini, est encore supérieure à $20~\%$ lorsque $N=10^9$. La raison en est que le phénomène est gouverné par des logarithmes et des logarithmes de logarithmes, qui sont des fonctions qui tendent très lentement vers l’infini: multiplier un entier par $2,\!7$, ça ne fait qu’ajouter $1$ à son logarithme.

Références:

• La page Almost prime de Wikipedia en anglais donne un premier aperçu (elle est plus complète que la page en français Nombre presque premier);
• Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 4^e édition, 2015.