Parmi les systèmes de représentation les plus utilisés, on trouve la numération en base entière et le développement en fraction continue.

Développement en base dix

L’exemple le plus classique de numération en base entière est celui de la numération en base dix. Un quart s’écrit $0,25$ car $1/4=2/10+5/100$ tandis que $1,141$ représente $1+\frac{1}{10}+\frac{4}{10^2}+\frac{1}{10^3}$. L’informaticien se demande déjà si ces représentations sont commodes pour faire faire les opérations arithmétiques à un processeur. Pour le mathématicien, ces développements finis sont ennuyeux ! Heureusement, il y a des nombres comme $1/11$, pour lequel les choses sont un peu plus compliquées ; on a besoin d’une suite infinie de chiffres :

$ \frac1{11} = 0,0909090909090909090909090909090909\dots $

Plus on a de chiffres, plus on est près de $1/11$ (bien qu’on n’y soit jamais tout à fait).

Le développement de $1/11$ ci-dessus est infini mais très simple : on répète indéfiniment le même bloc de deux chiffres $09$. D’autres nombres ont un développement d’aspect beaucoup plus compliqué, par exemple pi s’écrit
(voir aussi l’article de F. Gramain Les décimales de pi)

$ \pi = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944\dots $

Nous verrons bientôt quelles questions le mathématicien peut se poser au sujet de cette suite de chiffres.

Développement en fraction continue

Dans le cas des fractions continues,
on représente un nombre réel $x$ positif
sous la forme suivante \[x= a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\cdots}}}}\]
On utilise également la notation $x=[a_0 ; a_1,\cdots,a_n, \cdots]$. Les nombres $a_i$ sont appelés quotients partiels,
ce sont des nombres entiers qui peuvent prendre des valeurs arbitrairement grandes. Les quotients partiels jouent ici le rôle des chiffres dans le développement en base dix.
L’intérêt de ce type de représentation est qu’il permet de produire de très bonnes approximations rationnelles
de $x$ en tronquant cette écriture infinie. Pour plus de détails concernant la qualité ces approximations rationnelles, voir l’article de Wikipédia. Par exemple,
le début du développement de $e$ [1] est donné par

$e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}}=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \cdots] $

Pour des exemples de développements en fractions continues de constantes classiques, voir l’article de A. Broise Calendriers et fractions continues.
Ainsi,

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 12, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, \cdots].$

Les approximations correspondantes de $\pi=3,14159265\dots$ sont les fractions bien connues :
$[3;7]=3+\frac17=22/7=3,142857\dots$,

$[3;7,15]=3+\frac1{7+\frac1{15}}=333/106=3,141509\dots$,

$[3;7,15,1]=3+\frac1{7+\frac1{15+\frac11}}=355/113=3,141593\dots$

Le développement en fraction continue de $\sqrt 2 $ est égal à

$1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}=[1;2,2,\cdots,2,\cdots].$

Nous montrons ci-dessous comment l’obtenir. Voir aussi l’article de B. Rittaud La porte d’harmonie.

Quelques variations

Il existe de nombreuses variations autour de ces systèmes de numération. On peut ainsi représenter
les nombres réels de l’intervalle $[0,1]$ [2] en base $q$, où $q$ est un nombre entier plus grand que $2$ de la manière suivante :

\[x= \frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\dots \]
qu’on écrit souvent $\sum _{i \geq 1} x_i q^{-i}$ et
où les chiffres $x_i$ appartiennent à l’ensemble
$\{0,1\cdots,q-1\}$. Quand $q=10$ on retrouve la numération décimale, et on obtient la numération binaire quand $q=2$.
Par exemple, le début du développement binaire de $\sqrt 2$ est
\[1,0110101000001001111\dots\]
De même, la représentation en fraction continue
se décline sous des formes variées : les $1$ peuvent être remplacés par d’autres nombres entiers (positifs ou négatifs), les quotients partiels peuvent prendre des valeurs négatives etc. Les domaines d’application de ces divers types de représentation sont variés, et vont de la théorie des nombres (voir l’article de J. Rehmeyer Les travaux d’Elon Lindenstrauss) à la cryptographie, en passant par l’arithmétique des ordinateurs (voir l’article de V. Lefèvre, J.-M. Muller Erreurs en arithmétique des ordinateurs).

Comment obtenir les chiffres ?

L’une des premières questions qui se pose concernant ces systèmes de représentation est de savoir comment l’on obtient
les chiffres. Il existe pour chacun de ces deux types de développement des procédés algorithmiques simples de production
des chiffres. Ces procédés reposent sur l’usage des parties entières et fractionnaires, ainsi que des opérations arithmétiques élémentaires.

Prenons par exemple le cas de la numération en base $q$. Soit un nombre réel
$x \in [0,1[$. On suppose que la suite des chiffres $(x_i)_i$ de $x= \sum _{i \geq 1} x_i q^{-i}$ ne finit pas avec la suite constante $(q-1)\cdots (q-1)$ [3].
Pour produire le premier chiffre $x_1$ de $x= \sum _{i \geq 1} x_i q^{-i},$
on multiplie tout d’abord $x$ par $q$ :

\[qx=x_1+ \frac{x_2}{q} + \frac{x_3}{q^2} + \frac{x_4}{q^3} + \cdots =x_1+\sum _{i \geq 1} x_{i+1} q^{-i}.\]

On sépare alors dans cette quantité la partie entière
de la partie fractionnaire, ce qui donne

\[x_1=[qx], \quad \{qx\}= \sum _{i \geq 1} x_{i+1} q^{-i}.\]

On a ainsi obtenu un algorithme simple de production de ce premier chiffre qui se décrit comme une transformation de l’intervalle :

\[T_q\colon [0,1] \rightarrow [0,1], \ x \mapsto qx - [ qx]= \{qx\}.\]

Cette transformation permet plus généralement de produire le chiffre $x_i$ comme
$x_i=[ q T_{q}^{i-1}(x)],$ pour tout $ i \geq 1$.

Hasard et normalité

Les questions qui se posent concernant ces systèmes de représentation sont diverses, et relèvent
de l’arithmétique (voir l’article de
Wikipédia) ou de la théorie (métrique) des nombres (voir l’article de Wikipédia), ou encore
de la théorie des langages formels (voir l’article de Wikipédia) ou de la théorie de la calculabilité (voir l’article de Wikipédia).

Une des questions les plus naturelles concerne le comportement du développement d’un nombre pris au hasard, et en particulier,
les propriétés statistiques de répartition des chiffres produits.
Dans un même ordre d’idées, quel est le comportement d’un nombre « remarquable », par exemple, une des constantes fondamentales classiques $\pi$, $e$, $\sqrt 2$, etc.
Considérons ainsi le développement décimal de $\pi$. La répartition des décimales de $\pi$ simule-t-elle le hasard ?
Peut-on y trouver toute suite finie de nombres ? En particulier, peut-on trouver dans $\pi$ la suite des dates de naissance des reines de France ?
On peut d’ailleurs consulter à ce sujet le site The Pi-search site ainsi que l’article Les décimales de pi.

Quel est le comportement du développement décimal d’un nombre tiré au hasard ?
On peut s’attendre à ce que les chiffres qui apparaissent dans son développement décimal aient tous la même fréquence, à savoir
$1/10$. On peut de plus grouper les chiffres pour considérer les mots qui apparaissent. Un mot est ainsi une suite de chiffres qui apparaissent de manière consécutive. Par exemple, $15926535$ est un mot fini qui apparaît dans le développement décimal de $\pi$, de même, $0909$
apparaît dans celui de $1/11$, alors que $99009$ n’y apparaît pas.
On s’attend donc également à ce que chaque
mot fini composé de $k$ chiffres compris entre 0 et 9
apparaisse avec la fréquence $(1/10)^k$ dans un nombre tiré au hasard. Un nombre dont le développement décimal satisfait cette propriété (les mots de même longueur apparaissant avec la même fréquence) est appelé nombre normal (en base dix).
Le nombre de Champernowne est obtenu en concaténant les écritures en base dix des nombres entiers. Le début de son développement décimal est
\[0, 1 2 34567891011121314151617181920\dots\]
Ce nombre est un nombre normal en base dix.
On obtient de même un nombre normal (en base dix) en concaténant les écritures en base dix des nombres premiers. Le début de son développement décimal est
\[0,235711131719232931\dots \]

Notons qu’il existe une différence importante entre la
normalité prouvée et la normalité soupçonnée.
Il est ainsi conjecturé que les constantes fondamentales comme $e$, $\pi$, $\ln 2$, $\zeta(3)$...
sont des nombres normaux, de même que les nombres algébriques irrationnels
(un nombre algébrique est une racine d’une équation polynomiale à coefficients entiers ; par exemple, $\sqrt 2$ est racine de l’équation $X^2-2=0$).
Il s’agit de questions particulièrement difficiles, la normalité de $\sqrt 2$, par exemple, est toujours considérée comme hors d’atteinte.

Si la normalité correspond soit au comportement typique, soit au comportement des nombres remarquables, cela ne veut pas pour autant dire
que tous les nombres que nous avons l’habitude de manipuler sont normaux.
Ainsi $0$ ou $1/11$ sont bien loin de d’être normaux.

Occurrences de mots

Au vu de la difficulté de la question de la normalité, on peut s’intéresser à une condition plus faible. Au lieu de s’intéresser à la fréquence d’apparition des blocs dans
un développement décimal, on peut plus simplement compter les différents blocs de chiffres de longueur donnée $n$ qui apparaissent
dans le développement d’un nombre (on ne compte plus ici combien de fois ils apparaissent, mais s’ils apparaissent au moins une fois). Cette quantité, appelée fonction de complexité, est une notion classique en combinatoire des mots.
Considérons par exemple les premiers chiffres du développement de $\sqrt 2$ en base dix
\[\sqrt 2= 1,4{\underline{ 14}}2{\underline{1 3}}5623 73095 04880 {\underline{16}}887 24209 69807 85696 7{\underline{18}}75 37694 80731 \dots\]
On voit que les $10 $ chiffres allant de $0$ à $9$ apparaissent, de même que les mots de longueur $2$ :
$13,14,16, 18$ (soulignés ci-dessus). En prenant un début de développement décimal plus long, on verrait que les $10$ mots de longueur $2$ commençant par le chiffre $1$
apparaissent effectivement.

Plus précisément, soit $p(n,x)$ le nombre de mots de longueur $n$ que l’on trouve dans le développement décimal du nombre réel $x$. On voit que
$1 \leq p (n,x) \leq 10 ^n$
pour tout $n$. Notons que la complexité $p(n,x)$ d’un nombre rationnel est bornée. En effet, son développement est ultimement périodique (c’est-à-dire périodique à partir d’un certain indice). Ainsi, dans le cas de $1/11$, $p(n,1/11)=2$ pour tout $ n$.

Une conjecture moins forte que celle de la normalité de $\sqrt 2$ peut alors être énoncée comme suit :
la complexité $p(n, \sqrt 2) $ satisfait $p(n,\sqrt 2 )=10^n$ pour tout $n \geq 1$.

Là encore, il s’agit bien d’une conjecture, mais citons néanmoins
le résultat suivant
(voir [4]) qui a permis de faire une avancée récente remarquable sur ce sujet :

Ce théorème indique donc la complexité d’un nombre algébrique irrationnel ne peut pas être trop faible : pour toute constante $C>0$, il existe un entier $n_0$ à partir duquel $p(x,n) > C\cdot n$ pour tout $n \geq n_0$.
Ce théorème s’applique en particulier à $x=\sqrt 2$. Ce résultat n’est pas propre à la base dix, mais est vrai pour toute base $q$ entière.
Cet énoncé est certes bien plus faible que la normalité conjecturée : on ne fait que compter les mots
et l’on ne prend pas en compte la fréquence avec laquelle ils apparaissent ; de plus, nous sommes également encore loin de la complexité $p(n,x)=10^n$ conjecturée. Nous sommes par exemple bien loin de savoir si la suite des
dates de naissance des reines de France apparaît dans le développement de $x$.
Néanmoins, malgré son apparente simplicité, il s’agit d’un résultat profond, qui repose sur des techniques sophistiquées
d’approximation diophantienne,
et qui a fait l’objet d’une publication dans l’un des journaux les plus cotés
en mathématiques.

Changements de représentation

On a vu que le développement en fraction continue de $\sqrt 2 $ est égal à
\[1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}.\]
La complexité attendue du développement décimal de $\sqrt 2$ contraste avec la simplicité
de son développement en fraction continue. On voit, à travers cet exemple, que changer de système de représentation modifie
totalement les propriétés des développements. Il s’agit d’un phénomène que l’on retrouve fréquemment dans ce contexte.
Illustrons-le avec l’exemple suivant.
Travaillons avec la base $2$ pour plus de simplicité.
On se donne une suite infinie $(x_i)_{i \geq 1}$ de chiffres prenant la valeur $0$ ou $1$.
Cette suite peut s’interpréter comme le développement binaire
du nombre réel
\[x= \sum _{i \geq 1} x_i 2^{-i}.\]
La suite $(x_i)_{i \geq 1}$ peut également donner lieu
à une expression formelle [7] \[f(X) =\sum _{i \geq 1} x _i X^{i}.\]
On a alors le très joli résultat suivant qui se trouve être un corollaire du théorème A :

Ce théorème signifie que le changement de cadre formel
qui nous fait passer d’une série formelle à un nombre réel détruit l’algébricité. De plus, ce théorème nous permet d’obtenir, dans certains cas, des résultats de transcendance. Rappelons qu’un nombre transcendant est un nombre qui n’est pas algébrique, c’est-à-dire qui n’est pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Comme l’illustre le paragraphe sur la suite
de Prouhet-Thue-Morse, on saura que $x$ est transcendant si on trouve
une équation polynomiale satisfaite par $f(X)$.

Nous avons donné une formulation de nature algébrique du théorème B.
Ce qui est remarquable, c’est que le théorème B peut également se formuler en termes combinatoires (voir théorème C ci-dessous).

Pour illustrer cette approche combinatoire, considérons la suite de Prouhet-Thue-Morse
(voir l’article de Wikipédia) dont les premiers termes sont
\[ 01101001100101101001011001101001 \dots\]
Remarquons que si on remplace
simultanément chaque « 0 » par « 01 » et chaque « 1 » par « 10 », on obtient
la même suite [14]. On dit que la suite est invariante par substitution.
Elle est même engendrée par cette substitution
que l’on peut itérer à partir de la lettre $0$, produisant une suite infinie de $0$ et de $1$ [15]. Une telle suite est alors dite automatique car on montre qu’elle est engendrée par un automate fini [16]. Le théorème B s’applique
ainsi à une
telle suite :

Dès 1968, des résultats similaires ont fait penser aux
mathématiciens qu’un tel théorème devrait exister. Le théorème C a ainsi été conjecturé en 1968 (voir [17]) et
prouvé partiellement en 1988 dans [18]. Mais la preuve de
ce théorème s’est avérée difficile et a demandé... 39 ans pour être complétée.

Cet énoncé est bien dans l’esprit des résultats de normalité précédemment décrits. Le fait que la suite des chiffres présente une trop grande régularité
(ici, elle est engendrée par un procédé élémentaire, une substitution, un automate fini) implique la transcendance (on ne peut plus être solution d’une équation algébrique comme l’est $\sqrt 2$). Le nombre réel $x$ de développement binaire
\[x= 0,01101001100101101001011001101001 \dots\]
est ainsi transcendant.

Nous sommes donc revenus à nos interrogations de départ concernant la normalité conjecturée des algébriques irrationnels.
Que peut-on espérer comme améliorations concernant les théorèmes A, B et C ?
Une amélioration déjà significative serait
de pouvoir montrer qu’un nombre irrationnel dont la suite des chiffres
décimaux contient un nombre quadratique de mots et est de plus engendrée par une substitution [19]
est transcendant. Une conjecture « ultime » serait de pouvoir montrer la transcendance de tout nombre réel irrationnel dont le développement décimal admet une complexité $p(n,x)$ qui satisfait $p(n,x) < 10^n$ pour tout $n$ [20].
Nous sommes encore bien loin d’un tel résultat puisque l’on ne sait même pas si, pour tout nombre réel algébrique irrationnel,
les $10$ chiffres $0,1, \cdots,9$ apparaissent dans son développement décimal (même si une réponse positive à cette question est conjecturée)
 [21] !