Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

El 20 noviembre 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas:

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 KB

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré:

PNG - 58.5 KB
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 20 de noviembre de 2015 à 09:16, par ROUX

    Un nombre avec truc dizaines et bidule unités s’écrit truc fois 10 plus bidule fois 1.
    On est clairement invité à écrire (10a + b)*(10c + d)=(10b + a)*(10d + c).
    On développe et on tombe sur ac=bd.
    L’instant mathématique est fini quand on écrit qu’il suffit maintenant d’aller dans nos chères tables de multiplication, celles de 2 à 9, et de chercher les nombres qui apparaissent dans deux tables différentes.
    Par exemple, Ana laisse libre 24. Or, 24=8*3=6*4.
    Il vient alors 86*34=68*43=2924.
    La recherche exhaustive des autres couples relève de la plomberie des calculs, l’instant mathématique joyeux, légèrement irrationnel est passé...

    Répondre à ce message

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