Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

Le 20 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas :

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 ko

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré :

PNG - 58.5 ko
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 20 novembre 2015 à 10:31, par B !gre

    Sur ce genre de petits problèmes « faciles », un logiciel comme SageMath (ou plus simplement Python) permet de faire une recherche exhaustive. Si on enlève les cas triviaux (les multiplications par 0, les égalités du type 23*32 = 32*23, etc.), on trouve 28 solutions en tout ! Donc 26 de plus que celles données dans l’énoncé.

    Exemple de code pour trouver les solutions :

    sage : def inv(p) :
    .... : return (p%10)*10 + p//10
    .... :
    sage : L = [(p,q) for p in (10..99) for q in (p+1..99) if p*q == inv(p)*inv(q) and inv(p) != p and inv(q) != q and inv(p) != q]

    Explications : La fonction inv(p) calcule le nombre obtenu à partir de p en inversant les unités et les dizaines. La notation p%10 est le nombre p modulo 10, c’est-à-dire le chiffre des unités, et p//10 est le quotient dans la division euclidienne de p par 10, donc le chiffre des dizaines. Ensuite, la liste L contient tous les couples (p,q) avec 10≤ p < q ≤ 99 (on part de 10 pour avoir des nombres qui ont vraiment deux chiffres) tels que l’égalité qu’on souhaite est vérifiée (« if p*q == inv(p) * inv(q) »). La suite de la partie « if ... » permet d’éliminer les cas triviaux comme p (ou q) égal à inv(p), ou p = inv(q).

    Je comprends que pour beaucoup ici, cette méthode n’est pas aussi satisfaisante que trouver des arguments mathématiques, mais je pense que c’est une approche qui est utilisée par de plus en plus de mathématiciens de nos jours : programmer un petit algorithme pour « voir ce qu’il se passe », avant de chercher l’explication au phénomène. Je le fais assez systématiquement sur les défis mathématiques, et je trouve que c’est une démarche amusante.

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