Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

Le 20 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas :

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 ko

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré :

PNG - 58.5 ko
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 20 novembre 2015 à 22:16, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    La réponse à la question posée est « Oui ».

    Je pars du principe que les nombres à multiplier ont deux chiffres significatifs (donc de 10 à 99).

    Une recherche exhaustive avec une macro Excel (voir code ci-dessous) me donne 109 solutions différentes, y compris les solutions dites « triviales » qui n’ont aucune raison d’être exclues.

    Les 109 solutions sont :

    11 * 11
    21 * 12
    22 * 11
    22 * 22
    24 * 21
    31 * 13
    31 * 26
    32 * 23
    33 * 11
    33 * 22
    33 * 33
    36 * 21
    39 * 31
    41 * 14
    41 * 28
    42 * 12
    42 * 24
    42 * 36
    43 * 34
    44 * 11
    44 * 22
    44 * 33
    44 * 44
    46 * 32
    48 * 21
    48 * 42
    51 * 15
    52 * 25
    53 * 35
    54 * 45
    55 * 11
    55 * 22
    55 * 33
    55 * 44
    55 * 55
    61 * 16
    62 * 13
    62 * 26
    62 * 39
    63 * 12
    63 * 24
    63 * 36
    63 * 48
    64 * 23
    64 * 46
    65 * 56
    66 * 11
    66 * 22
    66 * 33
    66 * 44
    66 * 55
    66 * 66
    68 * 43
    69 * 32
    69 * 64
    71 * 17
    72 * 27
    73 * 37
    74 * 47
    75 * 57
    76 * 67
    77 * 11
    77 * 22
    77 * 33
    77 * 44
    77 * 55
    77 * 66
    77 * 77
    81 * 18
    82 * 14
    82 * 28
    83 * 38
    84 * 12
    84 * 24
    84 * 36
    84 * 48
    85 * 58
    86 * 34
    86 * 68
    87 * 78
    88 * 11
    88 * 22
    88 * 33
    88 * 44
    88 * 55
    88 * 66
    88 * 77
    88 * 88
    91 * 19
    92 * 29
    93 * 13
    93 * 26
    93 * 39
    94 * 49
    95 * 59
    96 * 23
    96 * 46
    96 * 69
    97 * 79
    98 * 89
    99 * 11
    99 * 22
    99 * 33
    99 * 44
    99 * 55
    99 * 66
    99 * 77
    99 * 88
    99 * 99

    Le code de la macro Excel est le suivant

    Sub Macro1()
    Z = 1
    For I = 10 To 99
    For J = 10 To I
    K = I * J
    L = (Left(I, 1) + 10 * Right(I, 1)) * (Left(J, 1) + 10 * Right(J, 1))
    If I >= J Then
    If K = L Then
    Cells(Z, 1) = I & « * » & J
    Z = Z + 1
    End If
    End If
    Next J
    Next
    End Sub

    (les 109 solutions s’affichent dans la colonne « A »)

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