Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

Le 20 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas :

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 ko

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré :

PNG - 58.5 ko
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 22 novembre 2015 à 19:52, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Il n’y a pas de regrets à avoir, bien au contraire.
    J’ai écrit ma macro un peu rapidement sans réfléchir aux cas de répétitions.
    Pour essayer de les repérer j’ai modifié un peu l’algorithme en espérant que cela soit bon !

    Pour chaque paire I, J possible dont les produits avant et après inversion des chiffres sont égaux : on calcule une « empreinte » égale à 100 x I x J plus la somme des 4 chiffres de I et J

    On obtient une liste de 418 éléments, on la trie sur l’empreinte et on élimine les doubles.

    Il reste 95 couples I * J

    11 * 11
    11 * 22
    12 * 21
    11 * 33
    13 * 31
    22 * 22
    11 * 44
    12 * 42
    14 * 41
    11 * 55
    22 * 33
    11 * 66
    23 * 32
    12 * 63
    15 * 51
    13 * 62
    11 * 77
    22 * 44
    11 * 88
    16 * 61
    24 * 42
    12 * 84
    33 * 33
    11 * 99
    14 * 82
    17 * 71
    13 * 93
    22 * 55
    25 * 52
    33 * 44
    22 * 66
    18 * 81
    34 * 43
    23 * 64
    24 * 63
    26 * 62
    22 * 77
    19 * 91
    33 * 55
    35 * 53
    44 * 44
    22 * 88
    27 * 72
    24 * 84
    33 * 66
    22 * 99
    23 * 96
    36 * 63
    28 * 82
    26 * 93
    44 * 55
    45 * 54
    33 * 77
    29 * 92
    37 * 73
    44 * 66
    33 * 88
    34 * 86
    46 * 64
    36 * 84
    55 * 55
    38 * 83
    33 * 99
    44 * 77
    47 * 74
    39 * 93
    55 * 66
    56 * 65
    44 * 88
    48 * 84
    55 * 77
    57 * 75
    66 * 66
    44 * 99
    46 * 96
    49 * 94
    55 * 88
    58 * 85
    66 * 77
    67 * 76
    55 * 99
    59 * 95
    66 * 88
    68 * 86
    77 * 77
    66 * 99
    69 * 96
    77 * 88
    78 * 87
    77 * 99
    79 * 97
    88 * 88
    88 * 99
    89 * 98
    99 * 99

    Le code de la macro

    Nota : la mise en forme du site supprime l’indentation et remplace les double-quotes par des guillemets << >>

    Sub Macro1()
    Z = 1
    For I = 10 To 99 ’ Pour I variant de 10 à 99
    For J = 10 To 99 ’ Pour J variant de 10 à 99
    I2 = Left(I, 1) + 10 * Right(I, 1) ’ Inverser les chiffres de I dans I2
    J2 = Left(J, 1) + 10 * Right(J, 1) ’ Inverser les chiffres de J dans J2
    If I * J = I2 * J2 Then ’ Si les deux produits sont égaux
    Cells(Z, 1) = I & « * » & J ’ Mettre I * J dans la colonne 1
    Cells(Z, 2) = 100 * I * J + I + J + I2 + J2 ’ Mettre l’empreinte dans la colonne 2
    Z = Z + 1 ’ Ligne suivante
    Cells(Z, 1) = I2 & « * » & J2 ’ Mettre I2 * J2 dans la colonne 1
    Cells(Z, 2) = 100 * I2 * J2 + I + J + I2 + J2 ’ Mettre l’empreinte dans la colonne 2
    Z = Z + 1
    End If
    Next J ’ Valeur suivante de J
    Next I ’ Valeur suivante de I
    ’ ================================== Trier le résultat sur l’empreinte

    ActiveWorkbook.Worksheets(« Feuil1 »).Sort.SortFields.Clear
    ActiveWorkbook.Worksheets(« Feuil1 »).Sort.SortFields.Add Key :=Range(« B1:B418 ») _
    , SortOn :=xlSortOnValues, Order :=xlAscending, DataOption :=xlSortNormal
    With ActiveWorkbook.Worksheets(« Feuil1 »).Sort
    .SetRange Range(« A1:B418 »)
    .Header = xlNo
    .MatchCase = False
    .Orientation = xlTopToBottom
    .SortMethod = xlPinYin
    .Apply
    End With

    I = 2
    ’ ================================ Examiner la liste triée
    While Cells(I, 1) <> «  » ’ Pour chaque ligne non vide
    If Cells(I, 2) = Cells(I - 1, 2) Then ’ Si l’empreinte est égale à celle de la ligne précédente
    Rows(I).Select ’ Supprimer la ligne
    Selection.Delete Shift :=xlUp
    I = I - 1
    End If
    I = I + 1 ’ Ligne suivante
    Wend
    End Sub

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