Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

Le 20 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas :

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 ko

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré :

PNG - 58.5 ko
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 24 novembre 2015 à 13:35, par Daniate

    Bonjour
    En effet, pas de regrets à avoir, la coopération est nécessaire à toute progression. C’est pourquoi je vous signale, comme vous l’avez sans doute senti, que votre astucieuse « empreinte », si elle fonctionne pour les nombres à 2 chiffres ne fonctionne plus pour 3 chiffres. Par exemple 372*273 et 651*156 sont 2 solutions différentes qui donnent la même empreinte. En utilisant une version modifiée de votre macro j’ ai même trouvé 21 autres couples mais aucun formé de solutions non-triviales. Est-ce possible avec plus de chiffres ?

    Répondre à ce message

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