Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

Le 20 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas :

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 ko

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré :

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • solutions à n chiffres ?

    le 26 novembre 2015 à 16:39, par Erwan Saint Loubert Bié

    Au moins dans certains cas, il y a des solutions avec des nombres quelconques de chiffres.
    Fixons une permutation $s$ quelconque pour l’ordre des chiffres, et notons $r$ sa réciproque.
    Soit $x=a_1...a_n$, nombre composé des $n$ chiffres $a_1$ à $a_n$, choisis entre 0 et 4. Notons $s(x)=a_{s(1)}...a_{s(n)}$, $b_i=2*a_i$, et soit $y$ le nombre s’écrivant avec les chiffres $b_1$ à $b_n$, dans cet ordre.
    Par construction, on a l’égalité $x s(y)=y s(x)$, car $y=2*x$ et $s(y)=2*s(x)$.
    Ceci donne donc une solution pour un choix de permutation sous cette forme. Si $s$ est d’ordre 2 (produit de transpositions de supports disjoints), alors $s=r$, et on a, pour $y'=s(y)$ l’égalité : $xy'=s(y')s(x)$. Sinon, on peut peut-être choisir les chiffres de manière que $s(s(y))=y$, par exemple avec 5 chiffres et la permutation (3 ;4 ;5 ;2 ;1), on a :
    $21242*48424=24212*42484=1 028 622 608$.
    Désolé d’avoir été si long....

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