Un défi par semaine

Novembre 2016, 4e défi

Le 25 novembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 48 :

Soit une suite $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$ formée avec tous les nombres de l’ensemble $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$. Quelle est la valeur minimale que peut prendre la somme

$(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2~\mbox{?}$

Solution du 3e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $896\,990$.

Commençons par remarquer que le premier chiffre est inférieur ou égal à $8$ (puisque la somme du premier et du dernier vaut $8$), mais que la somme du premier et du deuxième doit valoir $17$. La seule possibilité est donc que le premier vaille $8$ (le dernier vaudra donc $0$) et que le deuxième vaille $9$. En utilisant les sommes données par l’énoncé, on obtient alors successivement le troisième chiffre $15 - 9 = 6$ et le quatrième $15 - 6 = 9$, ainsi que l’avant-dernier ($9 - 0 = 9$). Le digicode est donc $896\,990$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Novembre 2016, 4e défi

    le 27 novembre 2016 à 09:40, par ROUX

    J’en ai fait la somme et j’ai trouvé 8.
    En les mettant en deux paquets, je me suis dis que chaque paquet pouvait(devait ?) toujours être le complémentaire à 8 de l’autre.
    Le minimum est obtenu pour 4+4 et, juste après, il y a toute une série possible à 5+3 : 4^2+4^2=32 tandis que 5^2+3^2=34.
    On constate d’ailleurs que c’est là que réside l’intérêt du carré : avoir un minimum dans la somme des carrés, minimum qui n’existe pas pour les sommes sans carrés.
    Je n’ai pas trouvé l’arrangement à 4+4.
    J’ai trouvé des arrangements à 5+3 (-7, -5, 4, 13) et alors (-3, -2, +2, +6), par exemple.
    La valeur minimale est donc 34, car, somme toute, au delà des arrangements, la question porte bel et bien sur la valeur de la somme.
    34 ?

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