Un défi par semaine

Novembre 2016, 4e défi

Le 25 novembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 48 :

Soit une suite $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$ formée avec tous les nombres de l’ensemble $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$. Quelle est la valeur minimale que peut prendre la somme

$(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2~\mbox{?}$

Solution du 3e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $896\,990$.

Commençons par remarquer que le premier chiffre est inférieur ou égal à $8$ (puisque la somme du premier et du dernier vaut $8$), mais que la somme du premier et du deuxième doit valoir $17$. La seule possibilité est donc que le premier vaille $8$ (le dernier vaudra donc $0$) et que le deuxième vaille $9$. En utilisant les sommes données par l’énoncé, on obtient alors successivement le troisième chiffre $15 - 9 = 6$ et le quatrième $15 - 6 = 9$, ainsi que l’avant-dernier ($9 - 0 = 9$). Le digicode est donc $896\,990$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Novembre 2016, 4e défi

    le 12 décembre 2016 à 12:49, par LALANNE

    Si A=a+b+c+d et B=e+f+g+h , on veut minimiser A^2+B^2=(A+B)^2-2AB
    Comme A+B=S est donné, il faut donc maximiser AB, ce qui est vrai lorsque A=B le produit de deux nombres dont la somme S est donnée est maximum lorsqu’ils sont égaux.
    Avec la suite donnée ce n’est pas possible, A est toujours différend de B.
    Posons D=A-B , le produit AB est à maximiser AB=(S^2-D^2)/4
    Il faut minimiser D^2 pour répondre à la question, soit A et B les plus proches possibles.
    La différence minimale D obtenue par permutation est 3 , la somme minimale A^2+B^2=34

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?