Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Novembre 2018, 1er défi

Le 2 novembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (15)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 44

Un voleur veut trouver la combinaison du coffre-fort et a l’information suivante : la combinaison forme un nombre pair de $5$ chiffres ; seul un des chiffres est impair ; la combinaison a $4$ chiffres différents, le chiffre répété est pair et apparaît à des positions non consécutives. Combien de combinaisons le voleur doit-il essayer pour être sûr d’ouvrir le coffre ?

Solution du 4e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $(-202,400)$ et $(198,0)$.

Appelons $x_1$ et $x_2$ les racines de
l’équation
$x^2+px+q=0$. On obtient

\[\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2) & = & x^2+px+q\\ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 & = & x^2+px+q, \end{eqnarray*}\]
c’est-à-dire, $x_1+x_2=-p$ et $x_1x_2=q$.

Comme
\[ 198 = p+q=-(x_1+x_2)+x_1x_2=(x_1-1)(x_2-1)-1, \]
il s’ensuit que $(x_1-1)(x_2-1)=199$.

Comme $x_1$, $x_2$, $x_1-1$,
$x_2-1$ sont des nombres entiers et $199$ est premier, on a alors que

$x_1-1=\pm 1\quad$ et
$\quad x_2-1=\pm 199$

ou $x_1-1=\pm 199\quad$ et $\quad x_2-1=\pm 1$

Les solutions $(x_1,x_2)$ des systèmes d’équations antérieurs sont : $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ et $(200,2)$.

De la première et la quatrième solution
on obtient que $p=-2-200=-202$, $q=2 \cdot 200=400$ et, de
la seconde et la troisième solution on obtient que $p=198$, $q=0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 10:34, par Al_louarn

Soit $i$ le chiffre impair, $r$ le chiffre pair répété, $p$ et $q$ les chiffres pairs non répétés, tels que $p$ apparaît avant $q$ (de gauche à droite).
Alors le dernier chiffre est soit $q$ soit $r$.

Si $q$ est le dernier chiffre, alors il y a $3$ façons de placer les deux occurences de $r$ sans qu’elles se touchent. Il reste alors $2$ positions possibles pour $i$, chacune fixant $p$, donc $3 \times 2 = 6$ configurations.

Si $r$ est le dernier chiffre, alors il y a $3$ positions possibles pour la première occurence de $r$, puis $3$ pour $i$, chacune fixant $p$ et $q$, ce qui fait $3 \times 3 = 9$ configurations.

Au total on a donc $9 + 6 = 15$ façons de placer les variables.
Pour chacune d’elles on a $5$ choix possibles pour $i$, $5$ pour $p$, $4$ pour $q$, $3$ pour $r$.
Il y a donc au total $15 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 4500$ combinaisons possibles.
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Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 12:45, par ROUX

Avec les contraintes annoncées, et pour la position de l’impair bloquée et pour les positions des deux pairs identiques bloquées, chaque nombre à 5 chiffres est un choix de 1 nombre impair parmi 5 puis le choix de 1 nombre pair parmi 5 suivi du choix d’un nombre pair parmi 4 suivi du choix d’un nombre pair parmi 3 soit 5*5*4*3=300 possibilités de nombres à 5 chiffres .
Ensuite, combien a-t-on de positions possibles de l’impair et des deux pairs identiques ?
P est pair et p est le pair répété et I est impair.
Si on a ...Ip alors on a 3 possibilités pour l’autre p, par exemple : PpPIp.
3/3
Ensuite, on n’a que pPpIP.
1/4
Si on a ..I.. on a alors 4 possibilités pour p, par exemples : pPIPp ou PpIPp.
4/8
Si on a pI... on a 3 possibilités pour p, par exemple : pIPpP.
3/11
Ensuite, on n’a que PIpPp.
1/12
Si on a Ip... on a 2 possibilités pour p, par exemple : IpPPp.
2/14
On n’a que IPpPp.
1/15
Et c’est fini.
On a donc 15 positions possibles pour I et p.
15*300=4500 combinaisons.
A deux secondes par chiffre puis deux secondes pour tirer la porte, on a 12 secondes par essai.
4500*12=15*3600 soit 15 heures.
A faire un week-end ;-) !
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Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 18:18, par Pierre Cami

01024
01042
01204
01402
01240
01420
10204
10402
10240
10420
12040
14020
12 possibilités avec 0 2fois 1 2 et 4
5 possibilités équivalentes pour 0,2,4,6,8
5 possibilités équivalentes pour 1,3,5,7,9
6 possibilités pour 2 pris parmi 4
Donc 5*5*6*12=1800 (sauf erreur de compréhension du problème)
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Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 18:32, par Pierre Cami

J’ai trouvé mon erreur.
3 pris parmi 5=10 et non 2 pris parmi 4=6
soit 10*5*5*12=3000
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Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 19:04, par ROUX

Vous seriez MOCHIZUKI (voir Revue de presse) alors je pourrais être votre SCHOLZE (voir Revue de presse) si et seulement si je trouvais le moyen de comprendre où vous vous êtes trompé...
Car vous vous êtes trompé, n’est-ce pas, puisque je trouve conjointement 4500...
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Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 19:08, par Daniate

Bonsoir, votre liste initiale n’est pas complète : elle ne compte pas de nombre commençant par un chiffre pair ne se répétant pas. Ensuite vous utilisez les combinaisons dans une situation où l’ordre est important. Je pense qu’avec ces 2 remarques vous pourrez retrouver le résultat des autres locuteurs.
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Novembre 2018, 1er défi

le 2 novembre 2018 à 19:06, par ROUX

Mais pourquoi n’explorez-vous que deux positions pour le nombre impair ?
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 11:25, par Pierre Cami

0 1 0 2 4 1 0 2 0 4
0 1 0 4 1 1 0 2 4 0
0 1 2 0 4 1 0 4 0 2
0 1 2 4 0 1 0 4 2 0
0 1 4 0 2 1 2 0 4 0
0 1 4 2 0 1 4 0 2 0
0 2 0 1 4 2 0 1 0 4
0 2 0 4 1 2 0 1 4 0
0 2 1 0 4 2 0 4 0 1
0 2 1 4 0 2 0 4 1 0
0 2 4 0 1 2 1 0 4 0
0 2 4 1 0 2 4 0 1 0
0 4 0 1 2 4 0 1 0 2
0 4 0 2 1 4 0 1 2 0
0 4 1 0 2 4 0 2 0 1
0 4 1 2 0 4 0 2 1 0
0 4 2 0 1 4 1 0 2 0
0 4 2 1 0 4 2 0 1 0

36 possibilités pour 1 impair, 0 deux fois et 2 et 4 pour les pairs
5 possibilités pour 1 ( 1 3 5 7 9 )
5 possibilités pour 0 ( 0 2 4 6 8 )
6 possibilités pour 2 pairs pris parmi 4 restants (24,26,28,46,48,68 si 0 double)
donc 36*6*5*5=5400
où me trompé-je ?
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 16:10, par Daniate

et n’oubliez pas de corriger la deuxième ligne.
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 16:09, par Daniate

Bonjour, en fait votre nouvelle liste contient des nombres impairs. Enlevez les et vous obtiendrez bien 4500.
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 16:51, par Pierre Cami

01024,10204
01042, 10240
01204, 10402
01240, 10420
01402, 12040
01420, 14020
02014, 20104
02041, 20140
02104, 20401
02140, 20410
02401, 21040
02410, 24010
04012, 40102
04021, 40120
04102, 40201
04120, 40210
04201, 41020
04210, 42010
et 36*5*5*6 = 5400
C’EST MIEUX MAINTENANT ?
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 17:53, par Daniate

Vous avez toujours 6 nombres qui se terminent par 1. Le défi parle de nombres pairs.
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 20:39, par Pierre Cami

Un voleur veut trouver la combinaison du coffre-fort et a l’information suivante : la combinaison forme un nombre pair de 5 chiffres ; seul un des chiffres est impair ; la combinaison a 4 chiffres différents, le chiffre répété est pair et apparaît à des positions non consécutives. Combien de combinaisons le voleur doit-il essayer pour être sûr d’ouvrir le coffre ?

Ci dessus le texte du problème
VOUS SAVEZ LIRE ?
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Novembre 2018, 1er défi

le 3 novembre 2018 à 20:51, par Pierre Cami

PAS MOI ET C’EST MA TRES GRANDE FAUTE , J’ai toujours beaucoup plus appris de mes erreurs que des bonnes solutions !
MAINTENANT C’EST SUR 4500, à mon âge on oubli (comme je l’ai toujours fait une partie de l’énoncé pour son bien être ?)
UNE REMARQUE 45 et 54 5*9 et 6*9, juste une petite erreur de 1 !
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Novembre 2018, 1er défi

le 5 novembre 2018 à 22:55, par drai.david

On peut aussi interpréter « la combinaison forme un nombre pair de 5 chiffres » comme le fait que le chiffre de gauche ne peut pas être un zéro.
Il ne reste alors plus que 3 780 combinaisons...

Remarque : « le chiffre répété est pair » est une information redondante, puisqu’il est dit auparavant que « seul un des chiffres est impair ».
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